Calculo, aplicando la definición de continuidad
Utilice la definición de continuidad para verificar si la función:
$$\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l l}
2x+6,si x\geq 2 \\
2x^2,si x<2
\end{array} \right.\] // es continua en x=2.$$1 Respuesta
La definición de continuidad es:
$$\begin{align}&\text{f(x) es continua en }x_0 \iff\\ &\\ &\forall \epsilon \gt0,\exists \delta \gt 0 :0\lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt \delta\end{align}$$En este caso xo=2, f(2)=10
Dado un epsilon > 0
Para los x por la derecha tomemos delta = epsilon/2
2 < x < 2 + epsilon/2
multiplicamos por 2
4 < 2x < 4 + epsilon
restamos 4
0 < 2x -4 < epsilon
eso significa
|2x - 4| < epsilon
|2x + 6 - 10 | < epsilón
|f(x) - f(2) | < epsilon
Y para los x por la izquierda tomemos delta = sqrt(epsilon/2)
donde sqrt es raíz cuadrada
2 - sqrt(epsilon/2) < x < 2
elevamos al cuadrado
4 + epsilon/2 - 4 sqrt(epsilon/2) < x^2 < 4
multiplicando por 2
8 + epsilon - 8 sqrt(epsilon/2) < 2x^2 < 8
UN MOMENTO. La función no puede ser continua por la izquierda tiende a 8 y su valor es 10.
Luego la función no es continua, revisa el enunciado si acaso.
