Obtén la representación en términos de los Polinomios de Taylor
b. Obtén la representación en términos de los Polinomios de Taylor, para la función log(x) alrededor del punto x=1 usando el logaritmo neperiano.
1 Respuesta
El polinomio de Taylor de una función en punto a cualquiera es
f(x) = f(a) + f '(a)(x-a) + f ''(a)(x-a)^2 / 2 + f '''(a)(x-a)^3 / 6 + ...+ fn(a)(x-a)^n / n!
Calculemos las derivadas en el punto 1 de la función lnx
f '(x) = 1/x ==> f '(1) = 1
f ''(x) = -1/x^2 ==> f ''(1) = -1
f '''(x) = 2/x^3 ==> f '''(1) = 2
f''''(x) = -6/x^4 ==> f''''(1) = -6
fn(x) = (-1)^(n-1)·(n-1)! / (x-1)^n ==> fn(1) = (-1)^(n-1)
Y el polinomo será
lnx = 0 + (x-1) - (x-1)^2 / 2 + 2(x-1)^3 / 6 - 6(x-1)^4 / 24 + .... + (-1)^(n-1)(n-1)!(x-1)^n / n!
lnx = x-1 - (x-1)^2 / 2 + (x-1)^3 / 3 - (x-1)^4 / 4 + ... + (-1)^(n-1) (x-1)^n / n
Y eso es todo.
