Verificar resultado por derivación.

Supongo que esa es la función que te ha salido tras integrar y quieres que la derive.

En mis estudios se abreviaba mucho más

Ch era el coseno hiperbólico

Sh el seno hiperbólico

Y las derivadas eran estas

ch'(x) = sh(x)

sh'(x) = ch(x)

entonces

$$\begin{align}&f(x)=45ch^{-1}(x)+C\\ &\\ &f´(x)=45(-ch^{-2}(x)sh(x))=\\ &\\ &- \frac{45sh(x)}{ch^2(x)}\\ &\\ &\end{align}$$

Si la expresión que tenías no era en función de ch y sh sino de e^x y e^-x sería

$$- \frac{45 \frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}  \right)^2}=-\frac{90(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}$$

Y eso es todo.