Ecuación diferencial de variable separable
Pueden ayudarme a resolver esta ecuación diferenciable por favor?
(3+3x²+6y+6yx³)³ dy=x²dx
Aunque sea solo con el despeje de las variables porfavor
Respuesta de Gabriel Hernandez Vargas
$$\begin{align}&(3+3x^2+6y+6yx^2)^3dy=x^2dx\\ &(3+6y+3x^2+6yx^2)^3dy=x^2dx\\ &[3(1+2y)+3x^2(1+2y)]^3dy=x^2dx\\ &[(3+3x^2)(1+2y)]^3dy=x^2dx\\ &[(3+3x^2)^3((1+2y)]^3dy=x^2dx\\ &(1+2y)^3dy=\frac{x^2}{(3+3x^2)^3}dx\\ &\\ &Integras.\\ &\\ &i)\int{(1+2y)^3dy}=ii)\int{\frac{x^2}{(3+3x^2)^3}dx}\\ &\\ &i)\int{(1+2y)^3dy}\\ &\\ &u=1+2y\\ &\frac{du}{2}=dy--->\frac{1}{2}\int{(u)^3dy}=\frac{(1+2y)^4}{8}\\ &\\ &ii)\frac{1}{27}\int{\frac{x^2}{(1+x^2)^3}dx}\end{align}$$Bueno primero se debe factorizar y así no desarrollar la cubica que nos molesta. Luego separe las "y" de las "x", ambas para cada lado de la igualdad, luego aplique las integrales, la primera integral (i), es por sustitución, la segunda (ii) puede hacer por sustitución trigonométrica, eso se me ocurre a mí, por tiempo no la desarrollare, pero la dejare expresada.
$$\begin{align}&ii)\frac{1}{27}\int{\frac{x^2}{(1+x^2)^3}dx}\\ &\\ &ii)\frac{1}{27}\int{\frac{x^2}{(\sqrt{1+x^2})^6}dx}\\ &\\ &Sustitución.\\ &\\ &x=tg(\alpha)\\ &dx=sec^2(\alpha)d(\alpha)\end{align}$$Suerte.
