Problema 4 de optimización y último para valeroasm

¿Con los 10 cm tenemos que construir un triángulo equilátero y una circunferencia?

El área supongo que se refiere a la suma de las dos. ¿Y seguro que es el área mínima?

Hola valeroasm!

Exactamente, con 10 cm del hilo tenemos que construir un triángulo y una circunferencia, y sí el área es mínima.

Sea a el lado del cuadrado y r el radio de la circunferencia.

Por la condición del perímetro tenemos

4a + 2·Pi·r = 10

Y el área será

A(a,r) = a^2 + Pi·r^2

Despejemos a por ejemplo en la primera igualdad

4a = 10 - 2·Pi·r

a = (5-Pi·r)/2

Y llevamos este valor a la segunda

A(r) =[(5-Pi·r)/2]^2 + Pi·r^2 =

[25 + (Pi·r)^2 - 10Pi·r] / 4 + Pi·r^2 =

[25 + (Pi^2)r^2 - 10·Pi·r + 4Pi·r^2]/4

Derivamos la función Área y la igualamos a 0.

A'(r) = [2(Pi^2)r - 10Pi + 8Pi·r] / 4 = 0

r(2Pi^2+8Pi) -10Pi = 0

r = b+2a+bPi/2 = 8 10Pi/(2Pi^2+8Pi) = 5 / (2Pi+4)

Y por lo tanto

a = (5-Pi·r)/2 = [5 - 5Pi/(2Pi+4)]/2 = (10Pi + 20 - 5Pi) / [2(2Pi+4)] =

(20+5Pi) / (4Pi+8)

Vamos a comprobarlo

4a+2Pir = 4·(20+5Pi)/(4Pi+8) + 2·Pi·5/(2Pi+4) =

(20+5Pi)/(pi+2) + 5Pi/(Pi+2) =

(20+10pi) / (2+Pi) = 10

Luego está bien

El corte será en

4a = 4(20+5Pi)/(4Pi+8) = (20+5Pi) / (pi+2) = 6.944922648 cm

Ese trozo será para el cuadrado y el otro para la circunferencia.

Y eso es todo.