Continuidad función duda
Hola buenas tardes me dirijo a usted para pedirle unos minutos de su tiempo, el siguiente ejercicio que no estoy seguro de su solución:
Estudia la continuidad de la función definida por f(x)=
$$\begin{align}& \frac{x^3-2x^2}{x^2-4} (x\neq-2,x\neq2) \\ &\\ &0 (x=-2)\\ &\\ &1(x=2)\end{align}$$Me da: lim f(-2) = 0 cuando x tiende a -2.
lim f(2) = 1 cuando x tiende a 2
No esta definida en x = +2 y -2.
Por lo tanto es continua en todo R menos en +2 y -2.
Gracias por su ayuda.
Saludos.
1 respuesta
Déjame que comprueba si los límites están bien
$$\begin{align}&\lim_{x\to \pm 2}\frac{x^3-2x^2}{x^2-4}=\\ &\\ &\lim_{x\to \pm 2}\frac{x^2(x-2)}{(x+2)(x-2)} =\\ &\\ &\lim_{x\to \pm 2}\frac{x^2}{(x+2)} =1 \;y\; \infty\\ &\end{align}$$Cuando tiende a 2 el límite coincide con el valor que nos dan de la función, luego es continua. Cuando tiende a -2 no hay límite finito y la discontinuidad es inevitable.
Luego la función es continua en R-{-2}
Y eso es todo.
Hola experto mi pregunta ahora es si hay que simplificar la fracción como usted ha hecho porque si no se simplifica no da la solución que usted dice.
Gracias.
Si no se simplifica el límite para x=2 vale (8-8) / (4-4) = 0/0 lo cual es una indeterminación y se tiene que resolver simplificando y da 1 tal como hemos calculado
Mientras que para x=-2 vale (-8-8) / (4-4) = -16 / 0 que es infinito.
Vale, entonces la simplificación no hacia falta para x =-2 pero para x=2 si hace falta hacerla para calcular el límite. No me di cuenta al principio.
De todas formas, el hecho de simplificar no afecta al límite aunque no hiciera falta hacerlo. LO importante del problema es darte cuenta que en x=2 el límite que obtenemos coincide con el valor de la función que nos han dado para x=2 y por lo tanto la función es continua en x=2.
Y eso es todo.
