Problemas de análisis combinatorio 3
Demuestra que para todo n que pertenece a N:
la sumatoria desde r = 0 hasta n de (n
r)² = (2n
n)
Sugerencia Examina el coeficiente de x elevado a la n, al desarrollar ambos miembros de la igualdad ( 1+ x )elevado a la 2n = (1 + x )elevado a la n por (1 + x )elevado a la n.
Nota: donde dice hasta n de (n
r)² es arrina n y abajo r, todo entre paréntesis elevado al cuadrado, igual con (2n
n), es 2n arriba y n abajo todo entre paréntesis.
1 Respuesta
Es el primer enunciado, si requiero de su apoyo por favor, gracias.
Hagamos lo que dicen.
$$\begin{align}&(1+x)^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}\binom{2n}{i}x^i\\ &\\ &\left((1+x)^n\right)^2=\left(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k\right)^2\\ &\\ &\text{El termino con }x^i \text{ de esto segundo es}\\ &\\ &\left[\sum_{r=0}^{i}\binom{n}{r}\binom{n}{n-r}\right]x^i=\\ &\\ &\text{Por propiedades de los números combinatorios son el mismo}\\ &\\ &=\left[\sum_{r=0}^{i}\binom{n}{r}^2\right]x^i\\ &\\ &\text{E igualando el coeficiente con el término } x^i\\ &\text{de lo de arriba del todo}\\ &\\ &\sum_{r=0}^{i}\binom{n}{r}^2=\binom{2n}{i}\\ &\\ &\text{tomando el término i=n}\\ &\\ &\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}^2=\binom{2n}{n}\end{align}$$Y eso es todo. Si acaso lo más difícil ha siso calcular el término i-esimo del cuadrado del sumatorio, eso se prueba haciendo el producto de un polinomio pequeño y después se generaliza y expresa en forma de sumatorio.
$$\begin{align}&(a_0+a_1x+a_2x^2)(a_0+a_1x+a_2x^2)=\\ &a_0a_0+(a_0a_1+a_1a_0)x + (a_0a_2+a_1a_1+a_2a_0)x^2\end{align}$$Luego aparte está la suerte de que había simetría de los coeficientes, en este ejemplo sería a0=a2 y por eso se progresa más
Y eso es todo.
