Problemas de inducción matemática
¿Me puedes ayudar con los siguientes ejercicios?
Para todo número natural n, demuestre que An es divisible entre b:
$$\begin{align}&a) A_n=2^{2n-1}, b=3\\ &b) A_n=n^2(n^4-1), b=60\\ &c) A_n=n^3+5n, b=6\end{align}$$
2 Respuestas
Veo que no han podido responderte la pregunta b) y no quiero que te quedes con la duda todo es cuestión de ingenio, análisis y sobre todo de no mecanizarse, es obvio así como afirma el amigo Valero "no sale nada aparente". Pero para demostrar múltiplos hay que tener en cuenta las propiedades de los múltiplos, como nos piden múltiplo de 60 será suficiente de mostrar que es múltiplo 2, múltiplo 2, múltiplo 3 y múltiplo 5 y por propiedad es múltiplo de 2x2x3x5 =60 que es lo que queremos demostrar(lqqd):
Demuestre que n^2(n^4 – 1)es divisible entre 60ꓯ n Є ℕ.
Solución:
A(n) = n^2(n^4 – 1) = n^2(n^2 + 1)(n^2 – 1) = n^2(n^2 + 1)(n + 1)(n – 1)
A(n) = (n – 1)n(n + 1)n(n^2 + 1)
Sabemos que el producto de 2 números consecutivos es múltiplo de 2:
(n – 1)n
Sabemos que el producto de 2 números consecutivos es múltiplo de 2:
(n + 1)n
Se demuestra por inducción que el producto de 3 números naturales consecutivos es múltiplo de 3, en nuestro caso: (n–1)(n)(n+1).
Sean los 3 números naturales consecutivos: (n–1)(n)(n+1)ꓯ n Є ℕ, entonces definimos a Q(n) como el producto de estos 3 números naturales consecutivos como sigue:
P(n) = (n–1)(n)(n+1) es ꓯ n Є ℕ
Aplicamos las 2 condiciones del principio de inducción:
(1) P(1) = (1-1))(1)(1+1) = 0 que es múltiplo de 3 → es verdadera.
(2) Si P(k) = (k-1)(k)(k+1) es múltiplo de 3 ꓯ k Є ℕ, entonces demostraremos que:
P(k+1) = (k)(k+1)(k+2), también lo es.
Demostración:
P(k+1) = (k)(k+1)(k+2) = (k)(k+1)[(k-1)+3)]=
P(k+1) = (k)(k+1)(k-1) + (k)(k+1)(3)
Múltiplo de 3 + Múltiplo de 3
hipótesis (2)
Solo nos falta demostrar que es múltiplo de 5 para que sea múltiplo de (2)(2)(3)(5)=60
Definimos P(n) tal como sigue:
P(n) = n(n^4 – 1) es ꓯ n Є ℕ
Aplicamos las 2 condiciones del principio de inducción:
(1) P(1) = 1(1^4 – 1) = 0 y cero es múltiplo de cualquier número → es verdadera.
(2) Si P(k) = k(k^4 – 1) es divisible entre 5 ꓯ k Є ℕ, demostraremos que:
P(k+1) = (k + 1)[(k + 1)^4– 1] también lo es.
Demostración
P(k+1) = (k + 1)(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 – 1) = (k + 1)[(k^4 – 1) + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1)]
P(k+1) = (k)(k^4 – 1) + (k)(4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) + (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k)
P(k+1) = (k)(k^4 – 1) + (4k^4 + 6k^3 + 4k2 + k) + (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k)
P(k+1) = (k)(k^4 – 1) + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k
M(5) + M(5)+ M(5) + M(5) + M(5) = M(5), lqqd.
Hipótesis (2)
Entonces n^2(n^4 – 1) es múltiplo de 60, lqqd.
a) Este es falso si es tal como está escrito
$$A_n=2^{2n-1}$$Los elementos de esa sucesión son exclusivamente múltiplos de 2 en cuanto a números primos se refiere. Luego no son múltiplos de 3.
b) n^2(n^4-1) múltiplo de 60
Veamos que se cumple para n=1
1^2(1^4 - 1) = 1(1-1) = 0
lo cumple, el 0 es múltiplo de todo.
Y ahora suponiendo que se cumple para n vamos a ver que se cumple para n+1
(n+1)^2[(n+1)^4 -1) =
(n^2+2n+1)(n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1) =
n^2(n^4-1) + n^2(4n^3+6n^2+4n+1) + (2n+1)(n^4+4n^3+6n^2+4n)=
n^2(n^4-1) + 4n^5+6n^4+4n^3+n^2+2n^5+8n^4+12n^3+8n^2+n^4+4n^3+6n^2+4n =
n^(n^4+1) + 6n^5 +15n^4 +20n^3 +15n^2 + 4n
¿Seguro qué es para demostrar por inducción? No sale nada aparente, podría ser muy largo de demostrar. Mientras que tal vez por deducción se pueda demostrar fácilmente.
Dime la asignatura que estás dando y el libro si es posible.
Gracias por tu respuesta. Primero que nada una disculpa, el inciso a) debe ser 2^n - 1.
Para el inciso b) llegué a una respuesta similar: pero a la hora de factorizar ya se me complicó mucho manejar la ecuación de 6 grado, aunque sé que los factores deben ser 0, 1 y 2.
La materia es Introducción al Álgebra Superior y el libro del que se tomaron los ejercicios, lo puedes encontrar en http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf .
Me piden también el ejercicio 3, del que no entiendo como salen los valores múltiplos de 5 de la fórmula de la sucesión, pero estoy trabajando en el tratando de ignorar ese hecho; además del 14 que abordaré mañana.
Saludos
No he encontrado los ejercicios en las páginas que me has mandado.
El ejercicio a sigue siendo falso
2^3 - 1 = 7 no es múltiplo de 3.
Dime la página donde salen los ejercicios y si no salen procura poner el enunciado del todo correcto para el ejercicio a. Tal vez puede que sea este:
2^N - 1 es múltiplo de 3 para n par
Confírmamelo.
Y por lo que veo el que estaba haciendo hay que hacerlo obligatoriamente por inducción. Confírmamelo también.
Son los ejercicios propuestos de la páginas 8 y 9. Los que tengo pendientes son los que te señalé.
Gracias :)
Vale, entonces el enunciado es
a) 2^(2n) - 1 es múltiplo de 3
Para n= 1 tenemos
2^2 - 1 = 4-1 = 3 se cumple.
Supongamos que se cumple para n
2^[2(n+1)] - 1 =
2^(2n+2) - 1 =
2^(2n) · 2^2 - 1 =
4 · 2^(2n) - 1 =
3 · 2^(2n) + 2^(2n) - 1 =
El término 3 · 2^(2n) es múltiplo de 3 luego a la hora de demostrar que el número es múltiplo de 3 podemos suprimirlo y queda demostrar que
2^(2n) - 1
es múltiplo de 3.
Pero lo es por la hipótesis de inducción, luego 2^[2(n+1)] - 1 es múltiplo de 3.
Y con ello queda demostrada la inducción.
Veo que eres nuevo y por eso no sabes el funcionamiento. Los expertos obtenemos puntos por cada respuesta que mandamos. Por eso si me mandas tres ejercicios en una pregunta solo tendré puntos una vez. Mientras que si me mandas tres preguntas me puntuarás tres veces y tendré el triple de puntos.
Cuando son ejercicios con trabajo, y el segundo es seguro que lo lleva, pido que sea un solo ejercicio en cada pregunta. Luego puntúa esta pregunta (tendrá que ser con la puntuación máxima para que conteste más preguntas) y después me mandas dos preguntas, una para cada ejercicio de los que quedan.
Y eso es todo, espero que tes sirva y lo hayas entendido. No olvides puntuar.
Para que valga la inducción hay que demostrar el caso base y en este caso NO vale para n=1, por lo que no vale "para todo n", aunque SI es cierto que vale para todo n >=2. Salu2 - Anónimo
Quedé algo lejos de la demostración, pero se puede. De la forma que lo hice al final quedaba n^2(n^4+1) + 6n^5 +15n^4 +20n^3 +15n^2 + 4n. El primer término era múltiplo de 60 por inducción. Los restantes vamos a probarlo, para n=1 será 6+15+20+15+4 = 60, para n+1 será 6(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1) + 15(n^4+ 4n^3+6n^2+4n+1) + 20(n^3+3n^2+3n+1) + 15(n^2+2n+1) + 4(n+1) = (6n^5+15n^4+20n^3+15n^2+4n) + 30n^4 + 120n^3 + 210n^2 + 120n+60 Lo que hay entre paréntesis es múltiplo de 60 por hipótesis y si a lo otro le quitamos múltiplos de 60 queda 30n^4 +30n^2 = 30n^2(n^2+1) Si n es par lo será n^2 y si es impar será par n^2+1 con lo cual tendremos siempre 30 por un par y por tanto múltiplo de 60. - Valero Angel Serrano Mercadal
Muy bien mi estimado amigo Valero excelente tu demostración, de todas maneras había que hacer una demostración dentro de otra. - Carlos Antonio Gálvez Reyes