Problema de ecuaciones diferenciales exactas
Hola Valero, podrías ayudarme a resolver la siguiente ecuación diferencial exacta,
$$(\frac{1}{1+y^2}+Cosx-2xy)\frac{dy}{dx}=y(y+Senx); y(0)=1$$Sé que puedo pasar el lado derecho al lado izquierdo, pero no sé si sea también valido "meter" el "y" que está fuera hacia dentro del paréntesis, y también multiplicar la ecuación por "dx" para que quede de la forma: M(x,y)dy+N(x,y)dx=0 y así poder verificar que la derivada parcial con respecto a "y" de f(x,y) sea igual a la derivada parcial con respecto a "x" de f(x,y) y así ver si es exacta.
Espero tu respuesta... Gracias
1 respuesta
Lo primero es pasar el dx a la derecha
$$\begin{align}&\left(\frac{1}{1+y^2}+Cosx-2xy\right)dy=y(y+Senx)dx\\ &\\ &\text{Y después podemos pasar el lado derecho a la izquierda}\\ &\\ &\left(\frac{1}{1+y^2}+Cosx-2xy\right)dy-y(y+Senx)dx=0\\ &\\ &\text {Y si quieres metes el "y" y el signo - dentro}\\ &\\ &\left(\frac{1}{1+y^2}+Cosx-2xy\right)dy+(-y^2-y\,senx)dx=0\\ &\end{align}$$Por cierto en toda la literatura que he visto las letras M y N se corresponden así
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Para no liarnos lo pondré de ese modo
$$\begin{align}&(-y^2-y\,senx)dx + \left(\frac{1}{1+y^2}+Cosx-2xy\right)dy=0\\ &\\ &\end{align}$$Y es la M derivada respecto y
-2y - senx
Que debe coincidir con la N respecto a x
-Senx -2y
Si, es una diferencial exacta. Ahora no puedo hacer más por hoy. Si necesitas más, dímelo y lo haré mañana.
Después se integra la M respecto de x o la N respecto de y. Y se añade como constante de integración una función de la otra variable.
$$F(x,y)=\int Mdx+g(y) = \int Ndy +g(x)$$
Me gusta más hacerlo de la primera forma
F(x,y) = -xy^2 + y·cosx + g(y)
Ahora se deriva con respecto a la variable de la función g y se iguala al otro término M o N del que se hizo la integral. Como hemos integrado M igualamos con N
Fy(x,y) = -2xy + cosx + g'(y) = 1/(1+y^2) + cosx - 2xy
Simplificando términos iguales es
g'(y) = 1/(1+y^2)
Y ahora integramos respecto a la variable de g
g(y) = arctg(y) + C
Entonces la solución general es
F(x,y) = -xy^2+y·cosx + arctg(y) + C = 0
Y ahora hagamos que pase por el punto que nos dicen y(0) = 1 o sea que la función se cumple para x=0 y y=1
-0·1^2 + 1·cos(0) + acrtg(1) + C = 0
0 + 1 + pi/4 + C = 0
C = -1 - pi/4
Luego la solución particular es
-xy^2+y·cosx + arctg(y) -1 - pi/4 = 0
Que no se puede despejar y se deja así.
Y eso es todo.
