¿Pregunta de calculo?
¿Hola podrían ayudarme con esta integral?
x/x^4+x^2+1
sustituyo u por x^2
du= 2x.dx
Saco 1/2 me queda integral de 1/u^2+u+1.du
Completo el cuadrado
1/2 integral de 1/(u+1/2)^2+3/4
Hasta hay entiendo...
¿Pero luego?
Dice que es arcotangente
¿Pero en el triangulo como se ubicaría esto?
¿Cómo hago después? Gracias :P
x/x^4+x^2+1
sustituyo u por x^2
du= 2x.dx
Saco 1/2 me queda integral de 1/u^2+u+1.du
Completo el cuadrado
1/2 integral de 1/(u+1/2)^2+3/4
Hasta hay entiendo...
¿Pero luego?
Dice que es arcotangente
¿Pero en el triangulo como se ubicaría esto?
¿Cómo hago después? Gracias :P
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
No me pones cuál es el denominador. El denominador va siempre entre paréntesis aquí que no hay linea que nos permita adivinar como es de largo.
Supongo que la integral es :
$ xdx / (x^4 + x^2 + 1) =
Está bien hacer el cambio
u = x^2
du = 2x dx
= (1/2) $ du / (u^2 + u + 1) =
(1/2) $ du/ [(u+1/2)^2 +3/4] =
Debemos llegar a un denominador de la forma [f(u)]^2 + 1, para ello podremos operar multiplicando y dividiendo por lo mismo.
Lo primero quitaremos el 4 del denominador
1 / [(u+1/2)^2 +3/4] =
1 / ([ 4(u+1/2)^2 +3]/4) =
4 / ([2(u+1/2)]^2 + 3) =
4 / [(2u+1)^2 + 3]
Ahora multiplicamos y dividimos por 3 el denominador
= 4 / [3[(2u+1)^2 + 3]/3] =
= (4/3) · 1 / ([(2u+1)^2]/3 + 1) =
Ese 3 que divide se mete dentro del cuadrado poniendo su raíz cuadrada. Todo esto que hago lo verás mucho más claro si lo pasas a papel con escritura matemática normal
= (4/3) · 1 / ([(2u+1)/sqrt(3)]^2 +1)
Ya tenemos el denominador de la forma que decía
f(u) = (2u+1)/sqrt(3)
f '(u) = 2/sqrt(3)
Multiplicamos y dividimos por esa derivada para que el integrando tenga una primitiva exactay tendremos que la integral es
(1/2)(4/3)(sqrt(3)/2) $ (2/sqrt(3)) · du / ([(2u+1)/sqrt(3)]^2 +1) =
(sqrt(3) / 3) arctg[(2u+1)/sqrt(3)] + C =
(sqrt(3) / 3) arctg[(2x^2+1)/sqrt(3)] + C
Recuerdo que sqrt es la raíz cuadrada.
Y eso es todo, vaya lío por no poder escribir como en el papel.
Supongo que la integral es :
$ xdx / (x^4 + x^2 + 1) =
Está bien hacer el cambio
u = x^2
du = 2x dx
= (1/2) $ du / (u^2 + u + 1) =
(1/2) $ du/ [(u+1/2)^2 +3/4] =
Debemos llegar a un denominador de la forma [f(u)]^2 + 1, para ello podremos operar multiplicando y dividiendo por lo mismo.
Lo primero quitaremos el 4 del denominador
1 / [(u+1/2)^2 +3/4] =
1 / ([ 4(u+1/2)^2 +3]/4) =
4 / ([2(u+1/2)]^2 + 3) =
4 / [(2u+1)^2 + 3]
Ahora multiplicamos y dividimos por 3 el denominador
= 4 / [3[(2u+1)^2 + 3]/3] =
= (4/3) · 1 / ([(2u+1)^2]/3 + 1) =
Ese 3 que divide se mete dentro del cuadrado poniendo su raíz cuadrada. Todo esto que hago lo verás mucho más claro si lo pasas a papel con escritura matemática normal
= (4/3) · 1 / ([(2u+1)/sqrt(3)]^2 +1)
Ya tenemos el denominador de la forma que decía
f(u) = (2u+1)/sqrt(3)
f '(u) = 2/sqrt(3)
Multiplicamos y dividimos por esa derivada para que el integrando tenga una primitiva exactay tendremos que la integral es
(1/2)(4/3)(sqrt(3)/2) $ (2/sqrt(3)) · du / ([(2u+1)/sqrt(3)]^2 +1) =
(sqrt(3) / 3) arctg[(2u+1)/sqrt(3)] + C =
(sqrt(3) / 3) arctg[(2x^2+1)/sqrt(3)] + C
Recuerdo que sqrt es la raíz cuadrada.
Y eso es todo, vaya lío por no poder escribir como en el papel.
