Ayuda con integrales

El primero es una integral definida por lo que veo, pero hay hasta tres signos cambiados por interrogaciones, no me atrevo a asegurar qué es

En el segundo lo mismo. Además aparece un factor 5 por la derecha qu supongo habrás querido poner que era un exponente.

Y el tercero no entiendo qué quieres decir con I'(x). ¿Quieres decir la derivada de la integral? Entonces sería hacer la integral de esa expresión, Que sé que algo se podrá simplificar. Espero que lo intento antes de decirte que me parece de un nivel de complicación muy superiora las otras.

$$\begin{align}&I'(x) = \frac{2x^3-3x^2}{(x^4-2x^3)^2} = \\ &\\ &\\ &\\ &\frac{x^2(2x-3)}{x^2(x^3-2x^2)^2}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{2x-3}{(x^3-2x^2)^2}\\ &\\ &\end{align}$$

Vamos a ver, si simplificamos como hemos hecho y como suele ser lo habitual, llegamos a una integral a la que nunca me he enfrentado. Un grado 6 en el denominador implicará seis ecuaciones lineales con 6 incógnitas, cosa que no he hecho nunca y no voy a hacer ahora, aun quiero vivír unos años más.

Mientras que si no simplificamos y nos fijamos en la derivada del paréntesis interno del denominador, será esta

4x^3-6x2

Que es justo el doble del numerador.

Salvo por el signo y esa constante 2 que hay que anular, esto nos recuerda la siguiente derivada

$$\begin{align}&\left(\frac{1}{f(x)}\right)^´= \frac{-f´(x)}{[f(x)]^2}\\ &\\ &\\ &\text {y lo podemos dejar perfecto si hacemos}\\ &\\ &\\ &\left(\frac{-1}{2f(x)}\right)^´= \frac{2·f´(x)}{[2f(x)]^2}=\frac{f´(x)}{2[f(x)]^2}\\ &\\ &\text {Luego tomaremos f(x) como la raíz cuadrada}\\ &\text{de la mitad del denominador}\\ &\\ &f(x) = x^4-2x^3\\ &\\ &I(x)= \frac{-1}{2f(x)}= \frac{-1}{2(x^4-2x^3)}\\ &\\ &\\ &\text {Si no te convence el razonamiento, haz el cambio}\\ & t=x^4-2x^3 \\ &\text {y llegarás a ese mismo resultado pero te puedes liar}\end{align}$$

Pues el tercero creo que está resuelto. Y de los dos primeros espero las aclaraciones.

Piensa siempre en mandar cada ejercicio por separado, a veces nos parecen fáciles y no lo son tanto. Cuando el experto se las ve negras para responder uno y ve que aun le quedan otros para terminar la pregunta se le cae la moral.

mis respetos valeroasm, me estas salvando!!!,

efectivamente, las 2 primeras son integrales, la primera es definida

y es (3x+4), (no se el porque de los signos de interrogación.)

y la 2da es indefinida x5 a la 3x cuadrada +1,... como ves.. una vez mas mil disculpas!!!

El primero es:

$$\int_0^1 (3x+4) dx = \left[ \frac{3x^2}{2}+4x\right]_0^1=\frac 32 + 4 = \frac {11}{2}$$

Respecto al segundo es imposible entenderlo. El lenguaje escrito no suele servir para describir expresiones matemáticas, se necesita escribirlas correctamente con los símbolos y los paréntesis necesarios.

Por ejemplo, esta totalmente prohibido el usar cosas como x5 para decir x^5. El símbolo ^ es obligatorio a no ser que se escriba con editor de ecuaciones y los exponentes queden más altos.

Cuando con el editor vas a poner un exponente compuesto tienes que encerrar ese exponente entre corchetes

x^{3x^2+1} nos dará esto.

$$x^{3x^2+1}$$

También una cosa que te falló es el símbolo de la integral, lo obtienes con \int.

Mira a ver si con lo que te he dicho puedes escribir la expresión del segundo ejercicio de forma comprensible.

muchas gracias valeroasm...

$$integral  indefinida  de  x5^{3x^2+1}$$

muchas gracias!!!