¿Cierto o falso? Que si Xn es una sucesión de Cauchy..
¿cierto o falso? Si Xn es una sucesión de Cauchy, entonces para n y m suficientemente grandes d(Xn+1 , Xm+1) <= d(Xn , Xm)
Nota: con d me refiero a distancia.
1 respuesta
Pues es falso, no tiene porque suceder.
Supongamos que existe una sucesión que cumple eso. Intercambiamos Xn con Xn+1 y Xm con Xm+1.
Ahora se cumplirá exactamente lo contrario y la sucesión sigue siendo una sucesión de Cauchy, si el módulo de la diferencia entre dos términos era menor que epsilon lo seguirá siendo porque son los mismos términos que antes.
Y eso es todo.
no entiendo a que te refieres cuando dices "intercambiamos Xn con Xn+1 y Xm con Xm+1 ...¿cómo es ese intercambio?
Si por ejemplo n = 4 sería poner el termino 4 donde el 5 y viceversa.
Pongo un ejemplo sencillo solo para que veas como es el intercambio. Sea n=4 y m =7
1,2,3,4,5,6,7,9
tras el intercambio
1,2,3,5,4,6,9,7
Antes
(x8 - x5) = 9-5 =4
(x7- x4) = 7-4 = 3
(x8-x5) > (x7-x4)
Después
(x8-x5) = 7-4 = 3
(x7-x4) = 9-5 = 4
(x8-x5) < (x7-x4)
Luego la desigualdad ha cambiado de sentido
Y si la sucesión primera fuera de Cauchy la segunda también porque tomando un k posterior a los elementos intercambiados tendremos que la segunda es de Cauchy igual que era la primera.
Y eso es todo.
