Permutaciones, álgebra moderna de Fraleigh

d) Creo que ya la había respondido. No, ponía como ejemplo el subgrupo de S4 generado por (1, 2, 3, 4).

<(1,2,3,4)> = {(1,2,3,4), (1,3)(2,4), (1,4,3,2), e}

(1,2,3,4) ) = (1,2)(1,3)(1,4) luego (1,2,3,4) es impar.

Resumiendo tenemos que <(1,2,3,4)> es un subgrupo de Sn no trivial que contiene alguna permutación impar y no tiene ninguna trnasposición.

e) No, A5 tiene 60 elementos. Es S5 el que tiene 120 elementso.

f) No, para n = 2 es ciciclo

S2 = {(1,2), e} es cíclico

g) Si A3 es el grupo cíclico {(1,2,3), (1,3,2), e}

h) Si, es obvio. Tomamos la aplicación f de S7 en S8 que a una permutación de S7 le corresponde la que se escribe igual en S8. Es biyectiva y conserva la operación

(a·b)f = (af)(bf)

Supongo que así se escribirá es esta notación inversa que tan poco me gusta.

i)Si, lo lismo que la anterior. Esta vez la aplicación f toma el elemento de S8 de esta forma:

Los caracteres 1,2,3,4,6,7 de la permutación en S8 los deja igual en la imagen mientras que donde ponía 5 lo cambia por 8.

j) No. Las permutaciones impares nunca pueden formar un subgrupo ya que no cuentan con el elemento neutro entre sus filas. Este es una permutación par.

Y eso es todo.