Clasificar todas las discontinuidades
Buenas noches!
Me podría ayudar con el último punto. De este ejercicio?
4. Dada la función f(x)= \frac{2x-4}{x^{2}-4} encuentra:
d) Los puntos de donde discontinua la función f(x) i clasificad todas las discontinuidades.
Mil gracias por su tiempo y paciencia.
Sandra
La función es:
f(x) = (2x-4) / (x^2-4)
Las funciones que son el cociente de polinomios están perfectamente definidas y son continuas en todos los puntos que no anulen el denominador. Cuando se anula el denominador pueden suceder dos cosas, que exista el límite (finito) en ese punto y entonces la discontinuidad es evitable, o que no exista, entonces es inevitable. La discontinuidad inevitable también se llama de primera especie. Y las de primera especie pueden ser se salto finito o salto infinito.
Pues para empezar calculamos los ceros del denominador
x^2-4 = 0
x^2 = 4
x = - 2 y 2
Y ahora vamos a calcular el límite en esos puntos
$$\lim_{x\to-2}\frac{2x-4}{x^2-4}=\frac{-4-4}{4-4}=\frac{-8}{0}=\pm\infty$$Luego en x=-2 tenemos un discontinuidad de primera especia de salt infinito. O si no te han enseñado tanto di simplemente que es inevitable-
Y ahora veamos en el punto x=2
$$\begin{align}&\lim_{x\to2}\frac{2x-4}{x^2-4}=\frac{4-4}{4-4}=\frac{0}{0}\\ &\\ &\text{Esto es una indeterminación, factorizamos}\\ &\\ &\lim_{x\to2}\frac{2x-4}{x^2-4}=\lim_{x\to2}\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\\ &\\ &\lim_{x\to2}\frac{2}{x+2}= \frac 24=\frac 12\\ &\\ &\end{align}$$Luego existe el límite finito. Entonces es una discontinuidad evitable. Para evitarla definiremos que la función toma en x=2 el valor del límite
f(2) = 1/2
Y eso es todo.
