Determinar todos los planos que pasan por do puntos y forman 30º con un plano dado
Dado el plano x-y+z-3=0, determinar todos los planos que contiene a los puntos A(-1,0,0), B(0,1,0) y forman 30º con el plano dado.
1 Respuesta
El vector director de un plano
Ax + By + Cz + D = 0
es (A,B,C)
Si dos planos forman 30º también lo harán sus vectores directores.
El ángulo de dos vectores se puede calcular mediante el producto escalar. Sabiendo que
u·v = |u||v|cos(alfa)
Donde u y v son vectores, u·v es su producto escalar y alfa el ángulo que forman
Si el ángulo que forman es 30 grados debe cumplirse
u·v = |u||v|sqrt(3)/2
donde sqrt es la raíz cuadrada
Sea ax + by + cz + d = 0 el plano o planos que nos piden
por pasar por (-1,0,0)
-a + d = 0
por pasar por (0,1,0)
b + d = 0
Encadenando las dos tenemos
a = d = -b
y el plano será
ax - ay + cz + a = 0
el vector director de este plano/s será
(a,-a,c)
Hacemos es producto escalar con el vector director del plano que nos dan y para que formen 30º debe ser
(1,-1,1) · (a,-a,c) =sqrt(1^2+1^2+1^2)·sqrt(a^2+a^2+c^2)·sqrt(3)/2 =
sqrt(3)·sqrt(2a^2+c^2)·sqrt(3)/2 =
(3/2)sqrt(2a^2+c^2)
Y el producto escalar calculado por la fórmula es
(1,-1,1) · (a,-a,c) = 1a + (-1)(-a) + 1c =2a +c
Luego deben coincidir las dos formas de calcular el producto escalar
2a + c = (3/2)sqrt(2a^2+c^2)
Elevamos al cuadrado
4a^2 + c^2 + 2ac = (9/4)(2a^2+c^2)
Paso el 4 a la izquierda y dejo el 9 en la derecha
16a^2 +4c^2 +8ac = 18a^2 + 9c^2
2a^2 + 5c^2 - 8ac = 0
La ponemos en el orden que tendría una ecuación con incógnita la c
5c^2 - 8ac + 2a^2 = 0
c = [8a +- sqrt(64a^2 + 40a^2)] / 10
c = [8a +- sqrt(24a^2)] / 10
c = [8a +- 2a·sqrt(6)] / 10
c = [4a +- a·sqrt(6)] / 5
Y lo hemos dejado para el final, pero podríamos haber hecho hace mucho rato la canonización del plano eligiendo a =1, ya que en un plano podemos dividir todos los coeficientes por lo mismo y es el mismo plano. Eso habría simplificado las cuentas. No lo ice porque eso es incorrecto si a=0 y no sabía si eso podía ser o no.
c1 = [4 + sqrt(6)]/5
c2 = [4 - sqrt(6)]/5
Con lo que los planos son estos dos:
x - y + [4 + sqrt(6)]z/5 + 1 = 0
x - y + [4 - sqrt(6)]z/5 + 1 = 0
Y eso es todo.
Muchas gracias por la respuesta
Me equivoqué en una cuenta, no sé si te darías cuenta, ojalá que sí. Gracias a Javiabelo Abelo que me ha avisado.
Cuando elevé al cuadrado el binomio de la izquierda no lo hice bien, voy a continuar a partir de entonces, también teniá mal resuelta la ecuación de esegundo grado.
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Luego deben coincidir las dos formas de calcular el producto escalar
2a + c = (3/2)sqrt(2a^2+c^2)
Elevamos al cuadrado
4a^2 + c^2 + 4ac = (9/4)(2a^2+c^2)
Paso el 4 a la izquierda y dejo el 9 en la derecha
16a^2 +4c^2 +16ac = 18a^2 + 9c^2
2a^2 + 5c^2 - 16ac = 0
La ponemos en el orden que tendría una ecuación con incógnita la c
5c^2 - 16ac + 2a^2 = 0
c = [16a +- sqrt(256a^2 - 40a^2)] / 10
c = [16a +- sqrt(216a^2)] / 10
c = [16a +- 6a·sqrt(6)] / 10
c = [8a +- 3a·sqrt(6)] / 5
Y lo hemos dejado para el final, pero podríamos haber hecho hace mucho rato la canonización del plano eligiendo a =1, ya que en un plano podemos dividir todos los coeficientes por lo mismo y es el mismo plano. Eso habría simplificado las cuentas. No lo hice porque eso es incorrecto si a=0 y no sabía si eso podía ser o no.
c1 = [8 + 3·sqrt(6)]/5
c2 = [8 - 3·sqrt(6)]/5
Con lo que los planos son estos dos:
x - y + [8 + 3·sqrt(6)]z/5 + 1 = 0
x - y + [8 - 3·sqrt(6)]z/5 + 1 = 0
Al elevar al cuadrado, no sería: 4a^2+c^2+4ac = (9/4)(2a^2+c^2)Porque (2a+c)^2 sería el cuadrado del primero: 4a^2, mas el cuadrado del segundo c^2, mas el doble del primero por el segundo, es decir: 2.2a.c=4ac - javiabelo abelo
¡Muchas gracias! Ya lo corregí, si no te es molestia me gustaría que revisaras si está bien. Saludos - Valero Angel Serrano Mercadal
Hola Valero Angel Serrano Mercadal. A mi me sale el mismo resultado. Además lo he comprobado con Geogebra dibujando los planos. Un cordial saludo. - javiabelo abelo
¡Gracias! Yo aún no estoy explotando la faceta tridimensional del nuevo Geogebra, a ver si aprendo a usarla porque Goegebra era un programa bidiensional muy bueno y a lo mejor también lo es tridimensionalmente. Saludos - Valero Angel Serrano Mercadal