Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad

Primero derivamos la función para encontrar máximos y mínimos, igualando la derivada a 0.

$$\begin{align}&y=e^{-x^2}\\ &y'=-2xe^{-x^2} \\ &\\ &y'=0\\ &-2xe^{-x^2} =0-->x=0\\ &\\ &\end{align}$$

Teniendo el punto x=0, lo reemplazamos en la segunda derivada para identificar si este punto corresponde a un máximo o un mínimo.

$$\begin{align}&y'=-2xe^{-x^2} \\ &y''=4x^2e^{-x^2}-2e^{-x^2}\\ &\\ &x=0\\ &\\ &4(0)^2e^{-(0)^2}-2e^{-(0)^2}\\ &0-2e^{0}\\ &-2<{0}\\ &\end{align}$$

Como al reemplazar el punto x=0 en la segunda derivada nos arroja un valor menor a 0, ese punto es un máximo, en caso contrario si fuera un numero mayor a 0, sería un mínimo, si es igual a 0 el punto no es critico.

-2<0-->x=0 máximo.

Para saber el punto completo reemplazamos el x=0 en la función original.

$$\begin{align}&y=e^{-x^2}/x=0\\ &y=e^{-(0)^2}\\ &y=e^{0}\\ &y=1\\ &\\ &P(0,1)\end{align}$$

Ahora debemos saber si la función es creciente o decreciente, para ello damos valores a la función derivada, los valores que tomamos irán desde infinito negativo a 0 y hasta infinito positivo, colocamos el 0 porque es nuestro punto critico, siempre se deben poner los puntos críticos cuando se analiza la función.

Entonces tomamos valores entre (infinito negativo,0) y (0,Infinito positivo)

$$\begin{align}&(\infty^-,0)-->x=-1\\ &\\ &y'=-2xe^{-x^2} \\ &y'=-2(-1)e^{-(-1)^2}\\ &y'=2e^{-1}\\ &y'=\frac{2}{e}\\ &y'=0,736>0\\ &\\ &(0,\infty^+)-->x=1\\ &\\ &y'=-2xe^{-x^2} \\ &y'=-2(1)e^{-(1)^2}\\ &y'=-2e^{-1}\\ &y'=\frac{-2}{e}\\ &y'=-0,736<0\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Entonces la función es decreciente entre (0,inf. positivo) y creciente entre (inf. negativo,0)

Luego debemos averiguar curvatura y los puntos de inflexión, para ello sacamos la segunda derivada y la igualamos a 0.

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Teniendo los posibles puntos de inflexión los revisamos en nuestra recta numérica introducimos los infinitos en los bordes y pones los puntos, que son x=(+)o(-)1/raizde2

$$\begin{align}&(\infty^-,\frac{-1}{\sqrt{2}})-->x=-1\\ &\\ &y''=4x^2e^{-x^2}-2e^{-x^2}\\ &y''=4(-1)^2e^{-(-1)^2}-2e^{-(-1)^2}\\ &y''=4e^{-1}-2e^{-1}\\ &y''=2e^{-1}\\ &y''=0,736>0(Concava (\cup))\\ &\\ &(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})-->x=0\\ &\\ &y''=4x^2e^{-x^2}-2e^{-x^2}\\ &y''=4(0)^2e^{-(0)^2}-2e^{-(0)^2}\\ &y''=0e^{0}-2e^{0}\\ &y''=0-2e^{0}\\ &y''=-2<0((Convexa (\cap))\\ &\\ &(\frac{1}{\sqrt{2}},\infty^+,)-->x=1\\ &\\ &y''=4x^2e^{-x^2}-2e^{-x^2}\\ &y''=4(1)^2e^{-(1)^2}-2e^{-(1)^2}\\ &y''=4e^{-1}-2e^{-1}\\ &y''=2e^{-1}\\ &y''=0,736>0((Concava (\cup))\\ &\\ &(Concava (\cup))\\ &(\infty^-,\frac{-1}{\sqrt{2}});(\frac{1}{\sqrt{2}},\infty^+,)\\ &\\ &((Convexa (\cap))\\ &(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\end{align}$$

Eso es a grandes rasgos espero te sirva.