Permutaciones, Álgebra Moderna!

El ejemplo más sencillo que me viene a la mente es el S3 del que ya hicimos un problema y calculamos los subgrupos. Los subgrupos propios eran isomorfos a Z2 y Z3

Uno era {e, (1,2,3), (1,3,2)}

Los otros tres que eran isomorfos entre si eran

{e, (1,2)}

{e, (1,3)}

{e, (2,3)}

Respecto a estos tres poco hay que demostrar, las únicas operaciones internas en cada uno son multiplicarse consigo mismo y con la unidad que son siempre conmutativas.

Respecto al de tres elementos lo mismo salvo la única operación que podría no ser conmutativa que es

(1,2,3)(1,3,2) = e

(1,3,2)(1,2,3) = e

Y está visto que lo es.

Luego todos los subgrupos propios de S3 son abelianos.

Y eso es todo.