Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta.
Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta.
y^3dx+2(x^3-xy^2)dy = 0
ok, como homogénea esta bien
Saludos
Comprobamos que es homogénea, para ello ponemos la ecuación en la forma
dy/dx = f(x,y)
y debe cumplirse
f(kx, ky) = f(x,y) para k € R
y^3dx+2(x^3-xy^2)dy = 0
2(x^3-xy^2)dy = -y^3 dx
dy/dx = - y^3 / [2(x^3-xy^2)]
f(kx, ky) = - k^3·y^3 / [2(k^3·x^3 - kxk^2·y^2)] = - y^3 / [2(x^3-xy^2)] = f(x,y)
A lo mejor no es necesaria tanta demostración, si vemos que va a salir una función racional
En la que todos los términos tienen el mismo grado sumando el exponente de la x y de la y, y que tiene términos de estos tanto en el numerador con en el denominador ya sabemos que será homogénea.
Y las ecuaciones diferenciales homogéneas se resuelven con el cambio
y = ux
de donde
dy/dx = (du/dx)x + u
Aplicando el cambio a nuestra ecuación queda
(du/dx)x + u = - u^3·x^3 / 2[(x^3 - x·u^2·x^2)]
(du/dx)x + u = - u^3 / [2(1 -u^2)]
du/dx = -u^3/[2(1-u^2)] -u = (-u^3 -2u+2u^3) / [2(1-u^2)] = (u^3-2u) / [2(1-u^2)]
[2(1-u^2) / (u^3-2u)]du = -dx
Y esta integral no es inmediata ni mucho menos
$$\begin{align}&I = \int \frac{2-2u^2}{u^3-2u}du \\ &\\ &\frac{2-2u^2}{u^3-2u}=\frac{a}{u}+\frac{bu+c}{u^2- 2}\\ &\\ &2 - 2u^2 = au^2-2a+bu^2+cu\\ &u=0\implies2=-2a\implies a=-1\\ &u=1 \implies 0=-a+b+c\implies b+c=-1\\ &u=-1 \implies 0= -a+b-c\implies b-c=-1\\ &\\ &2b=-2\\ &b=-1\\ &c=0\\ &\\ &I=-\int \frac{du}{u}-\int \frac{u}{u^2-2}du =\\ &\\ &-ln\,u- \frac 12ln(u^2-2)+C\\ &\\ &\text{la solución es}\\ &\\ &-ln\,u- \frac 12ln(u^2-2)+C = -x\\ &\\ &ln\,u+ \frac 12ln(u^2-2)+C = x\\ &\\ &\text{Y deshacemos el cambio}\\ &\\ &ln \left(\frac yx\right)+\frac 12ln\left(\frac{y^2}{x^2}-2 \right)+ C = x\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
Amigo al despejar (du/dx)x=... se esta olvidando la por por lo que queda (1/x)dx no es solo -dx como usted pone además no se de donde le saca el signo negativo pilas en ese error - wlady valencia
Pues si, la pena es que no me dejan escribir en la pregunta y aquí va a quedar fatal. La ecuación antes de integrar queda [2(1-u^2) / (u^3-2u)]du = dx/x con lo cual tras integrar es ln(y/x)+(1/2)ln(y^2/x^2-2)=ln(x)+ln(C) ==> (y/x)(y^2/x^2-2)^(1/2) = Cx ==> y(y^2-2x^2)^(1/2) = Cx^3 si no me he vuelto a equivocar. - Valero Angel Serrano Mercadal
ahora q jalaste los signos bro peero somos seres humanos y nos equivocamos - wlady valencia
porque es -ln(y/x)-(1/2)ln((y/x)^2-2)=lnxc - wlady valencia
por lo que me quedo y(y^2-2x^2)^(1/2)=(1/c)x bueno nose si me saldra lo mismo que a usted - wlady valencia
y tambien otra consulta seria si como ve mi respuesta al lado izquierdo queda (1/c)x pues quisiera saber si podria sustitur (1/c) por una nueva constante y de tal manera queda cx - wlady valencia
No sé cómo te ha salido el (1/c)x, de ln(Cx) te quedaría Cx una vez los quitas. En todo caso donde tengas 1/C puedes poner C, donde tengas e^C puedes pones C, donde tengas 3C puedes poner C, donde tengas 200+C puedes poner C, con la constante de integración se pueden hacer muchos cambios. - Valero Angel Serrano Mercadal
Comentario borrado por el autor - wlady valencia
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wlady valencia ahora mismo Disculpa una pregunta bueno la respuesta en si queda -ln(y/x)-(1/2)ln[(y/x)^2-2]=lncx. Pues quisiera saber si despeje bien la "y" ya que me quedo y=+-(cx^2+2x^2)^(1/4) o dime si estoy mal o si me pudieces ayudar con el despeje de la "y". Disculpa las molestias - wlady valencia
Aquí es imposible escribir las cosas, manda una pregunta a todoexpertos con esta ecuación y allí podré hacerla bien. Cuando dices -ln(y/x)-(1/2)ln[(y/x)^2-2]=lncx yo creo que te equivocas de signos. - Valero Angel Serrano Mercadal
Ok muchas gracias ahorita voy hacer. No tu te equivocaste ya que como tenias al lado derecho la -x cambiaste todo de signo pero como te dije que te equivocaste porque era lnx x eso queda de esa manera - wlady valencia