Decir si la siguiente matriz es diagonalizable en el caso de que no lo sea decir el porque

Hallemos los valores propios que son las soluciones de la ecuación

| M - x·Id | = 0

Donde Id es la matriz con unos en la diagonal principal y el resto 0

|-x    3    3 |
| 0   x-1   0 | = 0
| 0    1   x-2|

Es una matriz con bastantes ceros, de hecho solo de los seis sumandos habituales solo el producto de la diagonal principal es distinto de cero.

-x(x-1)(x-2) =0

Y los valores propios son 0,1 y 2

Pues ya no hace falta más. Cuando una matriz tiene todos los valores propios reales y distintos es diagonalizable, con eso ta basta.

Luego es diagonalizable. Y la matriz de paso se forma con los vectores propios puestos por columnas en en mismo orden que se pongan los valores propios en la matriz diagonal.

Para el valor propio 0 la matriz que queda

0 3 3 | 0

0 -1 0 | 0

0 1 -2| 0

De la segunda se deduce y=0 y entonces por la primera o tercera se deduce z=0. Mientras que x puede tomar cualquier valor. Y un vector propio es (1,0,0)

Para el valor propio 1 queda

-1 3 3 | 0

0 0 0 | 0

0 1 -1| 0

De la tercera se deduce y=z, entonces en la primera

-x + 3y + 3y = 0

x=6y

Y el vector propio es (6, 1, 1)

Y para el valor propio 2 tenemos

-2 3 3 | 0

0 1 0 | 0

0 1 0 | 0

De la segunda se deduce y=0

Y de la primera

2x=3z

Podemos tomar como valor propio (3, 0, 2)

Con esto la matriz diagonal seria

0 0 0

0 1 0

0 0 2

y la matriz de paso

1 6 3

0 1 0

0 1 2

Y eso es todo.