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La temperatura en el punto (x, y, z) es
T(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
Una partícula sigue la hélice circular
sigma(t) = (cost, sent, t)
sea T(t) su temperatura en el instante t.
Calcular T '(t)
Hallar el valor aproximado de la temperatura en el instante
t= pi/2 + 0.01
La función T(t) es
T(t) = cos^2(t) +sen^2(t)+t^2 = 1 + t^2
luego
T '(t) = 2t
La segunda pregunta no he visto ejemplo, pero se supone que ayudados por la derivada debemos calcular el valor aproximado. Tomemos solo los dos primeros términos de la fórmula de Taylor
f(a+x) = f(a) + f '(a)(x-a)
T(pi/2 +0.01) = 1+(pi^2)/4 + pi(0.01)
Y eso es todo.
valeroasm la segunda pregunta no la entiendo, de donde sale esa formula de taylor.
Como te decía, no hay ningún ejemplo de ejercicio similar en las páginas correspondientes del libro. Pero siempre que se habla de aproximar funciones en la rama del Análisis Matemático hay que pensar lo primero en la fórmula de Taylor, que es algo que se estudia antes de entrar en la universidad y en el primer curso de Calculo, luego tendría que sonarte por fuerza.
Sin necesidad de llegar a usar toda la serie de Taylor se puede argumentar que si trazamos la recta tangente a una función en un punto en ese punto valen lo mismo la función y la recta tangente y en puntos muy cercanos tienen un valor bastante similar.
Como la recta tangente tiene como fórmula
y = yo + f'(xo)(x-xo)
podemos aproximar
f(xo+0.01) = y(xo+0.01) = yo + f'(xo) (xo+0.01-xo) = yo + f'(xo)·(0.01)
Y ahora pongamos la punción y punto que nos dicen
T(t) = 1+t^2
T'(t) = 2t
(xo,yo) = (pi/2, 1+(pi/2)^2) = (pi/2, 1+(pi^2)/4)
T(xo+0.01) = yo + T'(xo)·(0.01)
T(pi/2 + 0.01) = 1+(pi^2)/4 + 2(pi/2)(0.01) = 1 + (pi^2)/4 + 0.01pi
Y eso es todo.
