Encontrar los puntos en la gráfica

Nos piden encontrar los puntos donde la recta tangente es horizontal.

Entonces sabemos que una recta es horizontal cuando no posee pendiente, pues esta es nula y es paralela al eje "y" entonces, tenemos que m=0.

Por lo tanto solo nos queda derivar la función e igualarla a la pendiente.

$$\begin{align}&y=x^3-x^2\\ &y'=3x^2-2x-->m=0\\ &y'=m\\ &\\ &\therefore 3x^2-2x=0\\ &x(3x-2)=0\\ &\\ &i)x=0\\ &ii)3x-2=0-->x=\frac{2}{3}\end{align}$$

Tenemos dos valores para "x", esto se produce porque la derivada nos dio una parábola, la cual posee dos raíces soluciones, que se transforman en valores de x. Luego reemplazas los valores de "x" en la función original y te entrega los valores de y.

$$\begin{align}&i)x=0;y=0\\ &ii)3x-2=0-->x=\frac{2}{3};y=\frac{-4}{27}\end{align}$$

Entonces nos entregan dos puntos donde la tangente es horizontal a la gráfica.