Ayuda Ecuación Dif. Homogenea

Primero comprobamos que efectivamente es una ecuación homogénea

Supongo que donde pones dx/dx has querido poner dy/dx. Lo despejamos:

dy/dx = xy/(x^2+2y^2)

Y hay que ver que la función de al derecha cumple

f(kx,ky) = f(x,y)

f(kx.ky)=kxky / [(kx)^2+2(ky)^2] = (k^2)xy/[(k^2)(x^2+2y^2)] = xy/(x^2+2y^2)=f(x,y)

Luego es homogénea.

Se resuelven con la sustitución:

y = ux

entonces

dy/dx = u + xdu/dx = xux/(x^2+2u^2x^2) = (x^2)u/[(x^2)(1+2u^2)] = u/(1+2u^2)

u + xdu/dx = u/(1+2u^2)

xdu/dx = u/(1+2u^2)-u = (u - u - 2u^3)/(1+2u^2) = -2u^3/(1+2u^2)

Y esta es una ecuación de variables separables

xdu/dx = -2u^3/(1+2u^2)

[(1+2u^2) / (2u^3)]du = -dx/x

[1/(2u^3) + 1/u]du = -dx/x

Integramos en los dos lados

(1/2)(-1/2)u^(-2) + ln(u) = -ln(x) + C

-1/(4u^2) + ln(u) = -ln(x) +C

Deshacemos el cambio con u = y/x

-1/(4y^2/x^2) + ln(y/x) = -ln(x) + C

-x^2/(4y^2) + ln(y) -ln(x) = -ln(x) + C

-x^2/(4y^2) + ln(y) = C

Y ahora calculamos el C que cumpla las condiciones que nos dan

y(1) = 2

Hacemos x=1 e y =2

-1^2/(4·2^2)+ln(2) = C

-1/16 + ln(2) = C

Y la solución será

ln(y) - x^2/(4y^2) = ln(2) - 1/16

Poca simplificación admite, si acaso esta

ln(y) -ln(2) - x^2/(4y^2) = - 1/16

ln(y/2) -x^2/(4y^2) = -1/16

Comprobemos que está bien:

ln(2/2)-1^2/(4·2^2) = -1/16

ln(1)-1/16 = -1/16

0 -1/16 = -1/1/16

-1/16 = -1/16

Cumple la condición de contorno

Y ahora derivamos la función implícita respecto a x

(1/2)(1/(y/2))dy/dx - [2x(4y^2) - (x^2)(8y)dy/dx] /(16y^4) = 0

(1/y)dy/dx - [(1/2)x/y^2 + (1/2)x^2/y^3]dy/dx

[1/y+(1/2)x^2/y^3]dy/dx =(1/2)x/y^2

{[y^2+(1/2)x^2]/y^3}dy/dx = (1/2)x/y^2

[y^2+(1/2)x^2]dy/dx = (1/2)xy

[(2y^2+x^2)/2]dy/dx = (1/2)xy

(2y^2+x^2)dy/dx = xy

Que es justamente la ecuación diferencial de partida. Luego está bien.

Y eso es todo.