Permutaciones, álgebra moderna

5.6)

a) No. Hay permutaciones que son producto de dos o más ciclos. Intercambian nos elementos entre si y otros entre ellos sin que se mezclen.

p.e. (1,2,3)(4,5)

b) Si, un ciclo es un tipo particular de permutación.

c) Si, puesto que dice que una permutación siempre se escribirá como un número par de transposiciones o como un número impar, nunca podrá escribírse de las dos formas. Entonces una permutación impar es la que siempre se puede obtener mediante un número impar de transposiciones, y una par lo que se obtiene siempre con un número par de transposiciones

d) No

Tomemos el grupo cíclico generado por p=(1,2,3,4)

p=(1,2)(1,3)(1,4) luego es impar

Y el grupo es G={p, p^2, p^3, p^4}

p=(1,2,3,4)

p^2=(1,2,3,4)(1,2,3,4) = (1,3)(2,4)

p^3=(1,3)(2,4)(1,2,3,4) = (1,4,3,2)

p^4=(1,4,3,2)(1,2,3,4) = e

Y este subgrupo no tiene una transposición.

Y eso es todo.