Como determinar si un punto esta dentro de dos lineas paralelas

No me suena haberlo visto ni me lo había planteado nunca, pero si que se debe poder. Imagino que quieres decir sin trazar la gráfica.

Tomemos la recta en la forma

Ax + By + C = 0

Y tomemos un punto (xo, yo)

Al sustituir (xo, yo) en la ecuación de la recta pueden suceder tres cosas

Axo + Byo + C = 0 El punto esta en la recta

Axo + Byo + C < 0 El punto está a un lado de la recta

Axo + Byo + C > 0 El punto está al otro lado de la recta

Todos los puntos con signo positivo están al mismo lado de la recta y los negativos al otro lado. Lo difícil es saber cuál es, pero vamos a asegurarnos que las dos rectas tengan al mismo lado los positivos y negativos.

Cuando tenemos dos rectas paralelas podemos hacer que tengan valores iguales los coeficientes A y B, las dos rectas serán

r1: Ax +By + C = 0

r2: Ax +By + D = 0

Nótese que la recta r2 tambien podria tener la forma -Ax - By + E = 0, pero no nos interesa así, para lo que vamos a hacer los coeficientes tienen que ser iguales o al menos con el mismo signo. Una recta r2: 3Ax + 3By + F = 0 serviría pero -3Ax - 3By + G = 0 no sirve

Entonces, si tomamos las rectas de este modo, el lado del signo positivo será el mismo en ambas rectas y el del signo negativo también. Si el punto está entre las dos dará valor positivo para una recta y negativo para la otra, mientras que si no está en medio estará del mismo lado de ambas rectas y el signo será el mismo en las dos evaluaciones.

Lo mejor será hacer un ejemplo. Sean estas dos rectas paralelas:

r1: x - y + 4 = 0

r2: -3x + 3y - 8 = 0

Y los puntos (6,7) y (1,4)

Ponemos r2 al menos con los coeficientes homólogos del mismo signo, para ello cambiamos todo de signo

r2: 3x -3y + 8 = 0

Calculamos r1 y r2 modificada para (6,7)

6-7+4 = 3

18-21+8 = 5

Tienen el mismo signo luego (6,7) no está dentro.

Veamos que pasa con (1,4)

1-4+4 = 1

3-12+8 = -1

Tienen signo distinto, luego está dentro.

Y eso es todo, puedes comprobarlo haciendo la gráfica para entenderlo mejor.