Probabilidad y estadística, ¿Alguien qué pueda ayudarme?
16. La fallas en cierto proceso de pintado se
distribuyen según Poisson a razón de dos fallas cada 1000 cm(cuadrado)
. Para un trabajo determinado se requieren chapas cuadradas
de 15 cm de lado.
Una vez pintadas, las chapas se perforan en las esquinas. En el proceso de perforación
fallan el 5% de las piezas. (Se supone que las fallas son independientes)
a) Hallar la prob. De que una placa
tomada al azar tenga sólo una de las dos fallas (de pintado o de
perforación)
b)Si se toman 5 chapas al azar, hallar la prob. De que al menos 4 sean perfectas.
c) ¿De cuánto debería ser el lado de una
chapa para que la prob. De que no tenga fallas de pintado sea
superior
al 90%?
1 Respuesta
ok!! tienes razón, perdón, lo haré con 5
Vamos a calcular la probabilidad de fallas de pintado en una chapa de 15x15 = 225 cm^2
Además no nos importa cuantas fallas haya, simplemente si hay o no hay.
El parámetro lambda de la distribución de Poisson es el número de fallas que se esperan en 225 cm^2
Como en
1000 ----> 2
225 -----> x
x = 2·225 / 1000 = 450/1000 = 9/20
$$\begin{align}&P_{pin}(k)=\frac{e^{-9/20}·(9/20)^k}{k!}\\ &\\ &P_{pin}(0)= e^{-9/20}\\ &P_{pin}(falla)= 1- e^{-9/20}\\ &\\ &\text{Y las probabilidades de falla en la perforación son}\\ &P_{per}(0) = 0.95\\ &P_{per}(falla) = 0.05\\ &\\ &P_{pin+per}(una\;sola\; falla)=\\ &\\ &P_{pin}(0)P_{per}(falla) +P_{pin}(falla)P_{per}(0)=\\ &\\ &e^{-9/20}·0.05 + (1-e^{-9/20})·0.95=\\ &\\ &0.95-0.90e^{-9/20}=0.3761346635\\ &\end{align}$$Luego la probabilidad de una pieza tenga solo una de las dos fallas es:
0.3761346635
b) Para calcular la probabilidad de que una pieza se defectuosa falta sumar a lo ya calculado la probabilidad de que tenga las dos fallas
P(defectuosa) = 0.3761346635+[1-e^(-9/20)]·0.05 = 0.3942532559
Y tenemos una binomial con p ese numero largo y n=5
Para que haya al menos 4 perfectas solo puede haber 0 o 1 defectuosa
P(0) = (1-0.3942532559)^5 = 0.08155591082
P(1) = (5 sobre 1)(0.3942532559)(1-0.3942532559)^4 =0.265405334
P(0 o 1 defectuosas) = 0.3469612448
Esa misma cantidad es la probabilidad de al menos 4 perfectas que era lo que preguntaban.
c) En el apartado a vimos que
lambda = 2a/1000 = a/500
donde a es el área de la chapa
Y vimos que la probabilidad de 0 fallas era
P_pin(0) = e^(-lambda)
0.9 <= e^(-lambda)
tomamos logaritmos neperianos
ln(0.9) <= -lambda
-0.1053605157 <= - lambda
Cuando se cambia de signo se cambia el sentido de la desigualdad, pero como voy a cambiar también de lado se mantiene
lambda <= 0.1053605157
2a/1000 <= 0.1053605157
2a <=105.3605157
a <= 105.3605157 / 2 = 52.68025783
Lado = raíz(52.68025783) = 7.258116686 cm
Demasiado número, si son capaces de medir 7.25 cm ya está bien.
Cuidado que no redondeo a 7.26 porque con 7.26 la probabilidad de acierto sería inferior a 0.9.
Y eso es todo.
