En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0, hallar los valores de a y b

Una recta pasa por un punto cuando sustituyendo es punto en la ecuación se cumple la igualdad. Vamos a sustituir el punto (2, -3) en las dos rectas.

ax+(2-b)y-23 = 0

(a-1)x+by+15 = 0

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a·2 + (2-b)(-3) -23 = 0

(a-1)·2 +b·(-3) + 15 = 0

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2a - 6 +3b = 23

2a -2 -3b = -15

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2a + 3b = 29

2a - 3b = -13

Y tenemos un sistema de ecuaciones donde hay que despejar a y b. Es muy sencillo, `para empezar sumamos las dos y se anula la incógnita b

2a+2a + 3b - 3b = 29 -13

4a = 16

a = 16/4 = 4

Y una vez calculado a vamos a cualquiera de las dos ecuaciones con ese valor y calculamos b

2·4 + 3b = 29

3b = 29 - 8 = 21

b = 21/3 = 7

Luego los valores son:

a=4, b=7

Hagamos la comprobación:

Las rectas quedarán

4x-5y -23 = 0

que verificada en (2, -3) es

4·2 - 5(-3) -23 = 8+15 -23 = 0

Y la otra recta queda

3x+7y+15 = 0

3·2 + 7(-3) + 15 = 6 - 21 + 15 = 0

Luego ambas pasan por (2, -3)

Y eso es todo.