Ejercicios análisis matemático

Como sabemos que u es positivo podemos dividir toda la cadena por u sin tener que cambiar los signos de desigualdad, y de x < y llegamos a

x/u < y/u

Tomamos el elemento

1 / (y/u - x/u)

Por la propiedad arquimediana existe n€N mayor que él

n > 1 / (y/u - x/u) luego

1) y/u - x/u > 1/n

Sea p la parte entera de nx/u

p <= nx/u < p+1

dividiendo por n

2) p/n <= x/u < (p+1)/n

Aplicando 2) y 1) tenemos esto, obsérvalo con detenimiento para entenderlo

y/u = x/u + (y/u - x/u) > p/n + 1/n =(p+1)/n > x/u

Entresacamos lo que nos interesa

x/u < (p+1)/n < y/u

multiplicando por u

x < [(p+1)/n]u < y/u

A (p+1)/n lo llamaremos r, el r que nos piede hallar el enunciado.

R es racional porque p era una parte entera y por lo tanto entero y n era un número natural.

Y eso es todo.