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Usaremos el teorema de caracterización de subgrupos.
Dado un subconjunto H de un grupo G se cumple que H es subgrupo si y solo si
para todo a,b € H se cumple ab^(-1) € H
En este caso corresponde usar la notación sumativa que es
para todo a,b € H se cumple a + (-b) € H
Sean a y b € kZ
a=nk
b=mk
con n,m € Z
a+(-b) = nk + (-mk) = (n-m)k € kZ
Luego kZ es un subgrupo de Z
Sea H un subgrupo de Z y sea d el máximo común divisor de todos los elementos de H
Entonces todo elemento de H se puede escribir a = nd con n €Z
Existirán dos números al menos a y b cuyo máximo común divisor sea d porque sino el máximo común divisor sería otro número mayor.
Mediante el algoritmo extendido de euclides se puede encontrar una combinación lineal de a y b igualada a d
xa + yb = d con x,y € Z
Esto son x sumas de a más x sumas de b luego d pertenece al grupo H
Y si d pertenece al grupo H pertenecen todos sus múltiplos, luego
H = dZ
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Como ya te dije en otra pregunta resuelvo en ejercicio por pregunta salvo que sean triviales.
