Dem. Que el conjunto de todas las matrices

Has escrito det+1

Imagino que querías decir det=1

Partimos del grupo de todas las matrices regulares 2x2 bajo la multiplicación. Ya sabemos que forman un grupo desde siempre y no nos vamos a entretener en demostrar la propiedad asociativa o que toda matriz regular (la que tiene determinante distinto de cero) tiene inversa.

El teorema de caracterización de subgrupos dice que un subconjunto H del grupo G será un subgrupo si

i) H no es un conjunto vacío.

Ii) para todo a y b € H se cumple a·b' € H. Donde con b' denoto al inverso de b

Veamos que eso se cumple con el subconjunto H

i) Basta tomar la matriz identidad 2x2, su determinante es 1

ii) Hay un teorema que dice |AB| = |A|·|B|

Si tomamos una matriz regular A y su inversa A'

|AA'| =|Iden| = 1

y por el teorema tenemos

|AA'|=|A|·|A'|

Luego |A|·|A'|=1 o dicho de otra forma |A'| = 1 / |A|

Si B pertenece a este conjunto de matrices con determinante 1 tendremos que |B'|=1/1=1

Entonces tendremos

|AB'| =|A|·|B'| = 1·1= 1

Luego AB' € H

Y con eso queda demostrado que H es un subgrupo de G, luego es un grupo.