Calcula el siguiente limite

Todos conocemos el producto notable

$$\begin{align}&a^2-b^2 =(a+b)(a-b)\\ &\\ &\text{ahora sustutuyamos a y b de esta forma}\\ &\\ &a= \sqrt x\\ &b= \sqrt{x_0}\\ &\\ &\text{entonces quedará}\\ &\\ &(\sqrt x)^2- (\sqrt{x_0})^2= (\sqrt x + \sqrt{x_0})(\sqrt x-\sqrt{x_0})\\ &\\ &x- x_0= (\sqrt x + \sqrt{x_0})(\sqrt x-\sqrt{x_0})\\ &\\ &\text{y sustituyendo esto en el límite queda}\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x-\sqrt{x_0}}{(\sqrt x+\sqrt{x_0})(\sqrt x-\sqrt{x_0})}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\sqrt x+\sqrt{x_0}} =\\ &\\ &\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}= \frac 1{2 \sqrt{x_0}}\end{align}$$

Y eso es todo.