Calculo de probabilidad

El número de sorteos posibles es C(100, 20)

De ellos los que tenemos 9 aciertos son C(91, 11) ya que han tenido que salir nuestros 9 nueve números y los otros 11 pueden ser cualesquiera del los 81 restantes

Luego la probabilidad de 9 aciertos es

$$\begin{align}&P(9) = \frac{C_{91}^{11}}{C_{100}^{20}}=\frac{\frac{91!}{11!·80!}}{\frac{100!}{20!·80!}}=\frac{91!·20!}{100!·11!}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{20·19·18·17·16·15·14·13·12}{100·99·98·87·96·95·94·93·92}=\\ &\\ &\\ &8.829628401\times 10^{-8}\end{align}$$

La probabilidad de acertar 8 se calcula así

Primero seleccionamos cuales son las ocho bolas que se van a acertar, eso son C(9,8)=C(9,1)=9

Y las otras 12 bolas que salgan pueden ser cualquiera de las 91 que no tenemos pronosticadas, luego C(91,12)

Los casos favorables son

9·C(91,12)

y la probabilidad es

$$\begin{align}&P(solo\;8)= 9·\frac{\frac{91!}{12!·79!}}{\frac{100!}{20!·80!}}=9·\frac{91!·20!·80!}{100!·12!·79!}=\\ &\\ &\\ &\frac{9·20·19·18·17·16·15·14·13·80}{100·99·98·97·96·95·94·93·92}=\\ &\\ &\\ &\\ &5.29777704\times 10^{-6}\end{align}$$

Y la de 7 es así:

Primero vemos de cuantas formas se pueden acertar esas 7

C(9,7) = C(9,2) = 9·8 / 2 = 36

Y ahora en cada una de ellas las otras 13 bolas deben ser de las 91 no pronosticadas, luego los casos favorables son

36·C(91, 13)

Y la probabilidad es

$$\begin{align}&P(solo\; 7)=36·\frac{\frac{91!}{13!·78!}}{\frac{100!}{20!·80!}}=\frac{36·91!·20!·80!}{100!·13!·78!}=\\ &\\ &\\ &\frac{36·20·19·18·17·16·15·14·80·79}{100·99·98·87·96·95·94·93·92}=\\ &\\ &\\ &1.287767342 \times10^{-4}\end{align}$$

Y eso es todo.

perdona, significa que acertar los 9 números es de 1 en 8 000 000 ? es asi ?