Aproximación de funciones continuas. Análisis Matemático

$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n) =\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)((\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac{1}{\infty}=0\\ &\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}log\left(1-\frac 1n  \right)=log(1-0)=log\,1 = 0\end{align}$$

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^3 a_i= \sqrt 2 - \sqrt 1+\sqrt 3 - \sqrt 2 +\sqrt 4 - \sqrt 3=\sqrt 4-1\\ &\\ &\text{Los términos medios se van anulando}\\ &\\ &\sum_{i=1}^n a_i = \sqrt{n+1}-1\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n a_i=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-1) =\infty\\ &\\ &\\ &\sum_{i=1}^3 log\left(1-\frac 1n\right)=log(1-1)+log\left(1-\frac 12\right)+ log\left(1-\frac 13\right)=\\ &\\ &log 0+ log \frac 12+ log \frac 23\end{align}$$

Eso no puede ser, el logaritmo de 0 no está definido, puede que haya un error en el enunciado o no se han dado cuenta. Habría que empezar por n=2 para que se pudiera hacer algo

$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\sum_{i=2}^nlog\left(1-\frac 1i\right)=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\sum_{i=2}^n log\left(\frac{1-i}{i}\right)=\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}log\left(\prod_{i=2}^n \frac{i-1}{i} \right)=\\ &\\ &\lim_{n\to \infty}log\left(\frac{(n-1)!}{n!}  \right)=\\ &\\ &\lim_{n\to \infty} log \frac 1n = log\; 0=-\infty\\ &\end{align}$$

Luego aun haciendo el arreglo no sal e bien porque el límite es -oo

Todo esto saldría bien si en lugar de b_n=log(1-1/n) fuera b_n=log(1+1/n)

Luego mira a ver si si el enunciado está bien y si está bien es falso que las dos sucesiones tiendan a +infinito

Y eso es todo.