Encontrar las ecuaciones de las rectas tangente y normal en los puntos indicados

Bueno asumiré es así xD.

Ya primero ves los datos que te dan, que es el punto (4,16) y la función, por lo tanto solo debes derivar, pues derivando y luego reemplazando el punto (4,16) en la derivada te entrega la pendiente de la recta tangente, eso es una propiedad.

$$\begin{align}&y=2\sqrt{x^3} --->,P(4,16)\\ &y'=(0*\sqrt{x^3})+(2*\frac{1}{2\sqrt{x^3}}*3x^2)\\ &y'=\frac{3x^2}{\sqrt{x^3}}\\ &\end{align}$$

Luego evaluamos P(4,16), para encontrar la pendiente de la recta tangente.

$$\begin{align}&y'=\frac{3x^2}{\sqrt{x^3}};P(4,16)\\ &y'=\frac{3x^2}{\sqrt{x^3}}=m=\frac{3(4)^2}{\sqrt{(4)^3}}m=6\\ &\\ &R.Tangente:\\ &y-y_{0}=m(x-x_{0})\\ &y-16=6(x-4)\\ &y=6x-8\\ &\end{align}$$

Para sacar la recta normal debes tener primero la pendiente la cual la obtuvimos en la

primera parte del ejercicio m=6.

$$\begin{align}&M_{n}*M_{t}=-1\\ &M_{n}*6=-1\\ &M_{n}=-\frac{1}{6}=m_{n}\\ &\\ &R. Normal\\ &y-y_{0}=m_{n}(x-x_{0})\\ &y-16=-\frac{1}{6}(x-4)\\ &y=-\frac{x}{6}+\frac{4}{6}+16\\ &6y=-x+4+96\\ &6y=-x+100\\ &y=\frac{100}{6}-\frac{x}{6}\end{align}$$

La formula que utilice es la de punto-pendiente.