Álgebra I: Teoría de Ecuaciones
Hola Valeroasm:
Hoy en mi examen final de Álgebra I, venía esta pregunta:
Las dimensiones de una caja son 6cm, 8cm y 12cm. Si cada una disminuye en un mismo valor, su volumen disminuye en 441. Calcular ese valor.
Bueno, a mi me salio que ese valor es 3. No sé si estoy correcto, Ya que pues debería tener 3 soluciones la raíz y pues sólo saque una raíz :C
Espero tu ayuda
Deberemos restar al volumen inicial el volumen final y el resultado debe ser 441
6·8·12 - (6-x)(8-x)(12-x) = 441
576-(48-6x-8x+x²)(12-x) = 441
576-(48-14x+x²)(12-x) = 441
576 - (576 - 48x - 168x + 14x² + 12x² - x³) = 441
216x - 26x² + x³ = 441
x³ - 26x² + 216x - 441 = 0
No es un polinomio obvio. Suponiendo que tendrá solución entera y positiva tenemos que
441 = 3²·7²
Los candidatos serían 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63,147,441.
Por cuestión de signos se puede ver que solo 1,3,9 pueden servir pero no vamos a explicarlo ni hacer uso de ello, simplemente probaremos por orden
P(1) = 1-26+216-441 = -250
P(3) = 27 - 234 + 648 - 441 = 0
x=3 es una solución. Vamos a dividir el polinomio para calcular las raíces siguientes
1 -26 216 -441
3 3 -69 441
-------------------
1 -23 147 | 0Y ahora calcularemos las otras dos raíces con la fórmula de la ecuación de 2º grado
x² - 23x + 147 = 0
$$x=\frac{23\pm \sqrt{529-588}}{2}= \frac{23\pm \sqrt{-59}}{2}$$No tiene soluciones reales, luego la única solución real es x=3
Y eso es todo.
