Nuevamente espacios y subespacios, por favor
Determina la dimensión del
subespacio W de R4
donde W = {(a, b, c, d} y pertenece R4:d = a + b y c = a- b}.
1 Respuesta
Soto 30!
En la definición del conjunto has añadido dos condiciones que son dos ecuaciones lineales y que pondré ya de la forma habitual de estas ecuaciones
a + b - d = 0
a - b - c = 0
Si no hubieras puesto ninguna sería W=R4 y tendría dimensión 4
Por cada condición que se añade que no sea deducible de las anteriores, se rebaja en una unidad la dimensión del subespacio W
La teoría te dirá que el número de dimensiones que se pierde es el rango de la matriz formada por las ecuaciones lineales, eso es lo mismo que te dije yo en la práctica.
Aunque en este caso se ve claro, hagamos el desarrollo que se haría en casos más complicados, formando la matriz de ecuaciones lineales y calculando su rango a base de sumar filas multiplicadas por algo para hacer ceros debajo de la diagonal y si es posible dejar al final filas con todo ceros.
1 1 0 -1 | 0
1 -1 -1 -1 | 0
restamos la primera a la segunda
1 1 0 -1 | 0
0 -2 -1 0 | 0
Y eso es lo más que puede hacerse, han quedado dos filas no completamente nulas, luego el rango es 2. Y tenemos que restar ese 2 a la dimensión del espacio inicial
4 - 2 = 2
La dimensión del espacio es 2.
Y eso es todo.
