Ejercicio de función seno.
Espero que me puedas ayudar con este problema. Gracias.
Funciones:
Dada la función
f(x)=3sen(2x)+4cos(2x) llevarla a la forma f(x)=Asen(Bx+C)
1 Respuesta
No se la teoría que estas utilizando para hacer esto. Si pudieras facilitarme el libro me serviría mucho.
Mediante derivadas he encontrado que el máximo es 5, vamos a demostrarlo. Derivamos para calcular los extremos
f '(x) = 6cos(2x) - 8sen(2x) = 0
6cos(2x) = 8sen(2x)
sen(2x)/cos(2x) = 6/8 = 3/4
tg(2x) = 3/4
luego hay una fórmulas que dicen
$$\begin{align}&cosa=\frac{1}{\sqrt{1+tg^2a}}\\ &\\ &\cos(2x) = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac {25}{16}}}=\frac 45\\ &\\ &sen(2x) = \sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac 35\end{align}$$Con esto el valor máximo de f(x) es
f(x) = 3·(3/5) + 4(4/5) = 9/5 + 16/5 = 25/5 = 5
Luego la amplitud de f(x)=5
entonces el valor de A es 5
Ahora calculamos el valor de la función en 0
f(0) = 3·0 + 4·1 = 4
Y con la función de la otra forma tendrá que valer 4 también
f(0) = 5sen(0+C) = 4
5senC = 4
senC = 4/5
C = arcsen(4/5)
Ya solo queda calcular B, tomamos el valor de la función en Pi/4
f(pi/4) = 3sen(pi/2) + 4cos(pi/2) = 3·1 + 4·0 = 3
f(pi) = 5sen(B·Pi/4 + C) = 3
sen(B·Pi/4 + C) = 3/5
sen(B·Pi/4)cosC + cos(B·Pi/4)senC = 3/5
recordar que senC=4/5 y por tanto cosC = 3/5
sen(B·Pi/4)·(3/5) + cos(B·Pi/4)·(4/5) = 3/5
Lo ponemos como ecuación en z =BPi/4
3senz + 4cosz = 3
Una solución a primera vista es z = pi/2 luego
z = pi/2 = Bpi/4
2pi = Bpi
B = 2
Luego la función en esa forma es
f(x) = 5sen(2x + arcsen(4/5))
Y si quieres saberlo aproximadamente es
f(x) = 5sen(2x + 0.927295218)
He hecho ambas gráficas y coinciden.
Naturalmente que si la pregunta te viene de lo que estás estudiando seguramente tendrás otro método para hacerlo pero yo lo desconozco y esta es la forma en la que he podido resolverlo. Como ya te dije, si puedes hacerme llegar la teoría lo resolvería de la forma que te digan.
Y eso es todo, si no has entendido algo pregúntamelo. Y si ya está bien, no olvides puntuar para poder hacer más preguntas.
Hola, tu respuesta es excelente.
Tienes razón, no te expliqué nada más. Lo que me piden luego de hallar la función en forma f(x)=Asen(Bx+C) es hacer la gráfica, determinar el dominio y rango, amplitud y ángulo de desfase. No te lo comenté porque eso sí sé hacerlo.
En la respuesta que tengo en el libro es que determinan que en una función tipo f(x)=a.sen(bx)+b.cos(bx) la amplitud o máximo valor es
A = raíz cuadrada de a^2+b^2. No sé si es una propiedad de ese tipo de funciones.
Luego de eso hallan C de la función f(x)=Asen(Bx+C) usando esto:
C=A.tan(b/a)=A.tan(4/3), pero lo ponen de frente. No sé cómo llegan a esa conclusión.
Espero me puedas aclarar estas dudas.
Pues esos serán los resultados que te dan ya hechos y que deben corresponderse con los que yo deduje. Vamos a ver
Lo primero que dicen es que la amplitud de una función
f(x) = a·sen(cx)+b·cos(cx) es
sqrt(a^2+b^2)
Y eso no es nada claro a primera vista, hay que hacer todo lo que hice yo para demostrarlo si no se tiene otro método mejor. Calculamos el máximo
f '(x) = ac·cos(cx) - bc·sen(cx) = 0
a·cos(cx) - b·sen(cx)=0
a·cos(cx) = bsen(cx)
sen(cx)/cos(cx) = a/b
tg(cx)=a/b
Y ahora usamos esas fórmulas trigonométricas que decía. NO funciona el editor de ecuaciones.
cos(cx) = 1/sqrt[1+(a/b)^2] = 1/sqrt[(a^2+b^2)/b^2] = b/sqrt(a^2+b^2)
sen(cx) = sqrt[1-b^2/(a^2+b^2)] = sqrt[(a^2+b^2-b^2)/(a^2+b^2)]= a/sqrt(a^2+b^2)
y con estos valores vamos a la función
f(x) = a·[a/sqrt(a^2+b^2)] + b[b/sqrt(a^2+b^2)] = (a^2+b^2) / sqrt(a^2+b^2) = sqrt(a^2+b^2)
Luego es cierto lo que dicen sobre la amplitud.
A = sqrt(a^2+b^2)
Luego viene el calculo de C, eso es fácil una vez conocidia la amplitud.
Se calcula el valor de la función f(x) en x=0
f(0) = a·sen(0) + b·cos(0) = a·0 + b·1 = b
Mientras que en la representación será
f(0) = Asen(B·0+C) = A·sen(C)
luego
A·sen(C) = b
sen(C) = b/A
C = arcsen(b/A)
Esa sería la forma más fácil de hacerlo una vez calculada A, pero lo que te dicen a ti sería
C = arcsen[b/sqrt(a^2+b^2)]
Y si el seno vale b/sqrt(a^2+b^2) entonces es de fácil comprobación que el coseno vale a/sqrt(a^2+b^2)
Con lo cual la tangente vale
b/sqrt(a^2+b^2) / a/sqrt(a^2+b^2) = b/a
Asi que el ángulo cuyo seno era b/A es el mismo que el que su tangente es b/a, luego
C = arcsen(b/A) = arctg(b/a)
Aunque parezcan dispares es lo mismoel C=arcsen(4/5) que puse yo que el C=arctg(4/3) que ponen ellos.
Y eso es todo.
