Hola! Tengo dudas con estos ejercicios. Encuentre la ecuación de una plano que pase por los puntos
Hola!! Valeroasm
El tema es rectas y planos
Tengo dudas con este ejercicios :
1)Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos :
A(1, 2, 3) y B(2,-1,0).
las ecuación seria AB= (2-1)i + (-1-2)j+(0-3)k
n = 1i -3j- 3k
n.A=1.(x-1)-3(y-2)-3(z-0)=0
x-1- 3y+6 -3z=0
x- 3y- 3z+5=0 esta es la ecuación de la recta
2) Encuentre una recta paralela y una perpendicular a la anterior que pase por el punto P(1,0,2) Como se calcula esto? Saludos !!
1 Respuesta
1)
Tuviste una errata en las cuentas, en lugar de 1.(x-1)-3(y-2)-3(z-0) era
1.(x-1)-3(y-2)-3(z-3)
Pero eso es lo menos importante, date cuenta que la solución que obtienes no es una recta, sino un plano. Eso es así porque lo que has calculado son vectores perpendiculares al vector (1, -3, -3) y la solución a eso es un plano.
Para calcular la ecuación de una recta necesitamos conocer el vector director v y un punto P, entonces la ecuación vectorial es
r: P+tv para todo t € R
Aquí tenemos P(1,2,3), v=(1, -3, -3)
La ecuación paramétrica es
x = 1+t
y = 2 - 3t
z = 3 - 3t
O si quieres la ecuación continua es
(x-1)/1 = -(y-2)/3 = -(z-3)/3
de donde puedes sacar la ecuación como intersección de dos planos
x-1 = -(y-2)/3
3x-3 = -y+2
3x + y - 5 = 0
y el otro
x-1 = -(z-3)/3
3x-3 = -z +3
3x + z - 6 = 0
Con lo cual la ecuación como intersección de dos planos son estas dos
3x + y - 5 = 0
3x +z - 6 = 0
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2) Encuentre una recta paralela y una perpendicular a la anterior que pase por P(1,0,2)
Si es paralela tendrá el mismo vector director, luego su ecuación será
r = (1, 0, 2) + t(1, -3, -3)
que en paramétricas sería
x = 1 + t
y = -3t
z = 2 - 3t
para todo t€R
La perpendicular tendrá un vector director perpendicular al de la recta, para ello el producto escalar será 0
Si v=(a, b, c) será
(1, -3, -3)·(a, b, c) = a - 3b - 3c = 0
Para facilitar hagamos a=0
-3b - 3c = 0
-3b = 3c
-b=c
hagamos b=1, c=-1
Luego el vector perpendicular que tomamos es (0, 1, -1) y la ecuación será
r: (1,0,2) + t (0, 1, -1)
en paramétricas
x = 1
y = t
z = 2 -t
Para todo t€R
Y eso es todo.
Hola !!
en el 1) esto no estaría bien : componentes del vector (1, -3,-3) y tomo el punto (1,2,3)
ax+by+cz +d=0
1.1 +-3.2+-3.3 +d=0
1 -6 -9 + d=0
1-15+d=0
d=14
y la ecuación seria 1x -3y -3z +14=0
P.n =0
esto no es correcto? que estaría calculando ? Saludos!!
No no es correcto.
Asi como en el plano las ecuaciones
Ax + By + C = 0
son las de una recta, en el espacio las ecuaciones
Ax + By + Cz + D = 0
son las de un plano. Y en el espacio de 4 dimensiones las ecuaciones
Ax + By + Cz + Dt + E = 0
Son las un espacio de dimensión 3.
En general, una sola ecuación en un espacio de dimensión n es la ecuación de una variedad lineal (punto, recta, plano, etc) de dimensión n-1, que recibe el nombre de hiperplano.
Lo que has calculado es la ecuación del plano perpendicular al vector (1, -3, -3) que pasa por el punto (1,2,3). Pero lo que te piden es la recta paralela a (1, -3, -3) que pasa por (1,2,3) y se calcula como te he explicado.
