Aplicación de DERIVADAS en problemas.
hOLA
de antemano gracias por tu respuesta.
aL PAREcer este problema es aplicando la regla del producto y del cociente pero la verdad no sé como hacerlo agradecería mucho que me pudieras explicar.
la persistencia del sonido en un recinto después que la fuente del sonido se ha apagado se llama reverberación. El tiempo de reverberación RT del recinto es el necesario para que el nivel de intensidad del sonido caiga a 60 decibeles. En el diseño acústico de un auditorio, puede utilizarse la fórmula siguiente para calcular el RT del recinto:
RT = 0.05V/A +xV
Aquí V es el volumen del recinto, A es su absorción total y x es el coeficiente de absorción del aire. Suponga que A y x son constantes positivas, demuestre que la razón de cambio de RT con respecto al V siempre es positiva. Si el volumen total del recinto se incrementa en una unidad ¿ el tiempo de reverberación aumenta o disminuye?
2 respuestas
Antes de ponerme con las cuentas quiero asegurarme de la fórmula. Ya sabes que cuando se ponen en una línea se pierde la noción de numerador y denominador, que es necesario encerrarlos entre paréntesis para saber la longitud que tienen. Que si no se encierran se consideran los de longitud mínima, un solo termino delante y uno solo detrás.
Entonces, dime cuál de estas dos fórmulas es la correcta:
$$\begin{align}&1)\;RT = \frac{0.05V}{A} +xV\\ &\\ &\\ &\\ &2)\;RT = \frac{0.05V}{A +xV}\end{align}$$La primera sería lo que has escrito, pero creo que quieres decir la segunda.
Hola
Sí es la segunda fórmula
gracias
La razón de cambio de RT respecto a V para un determinado incremento del volumen h es
[RT(V+h) - RT(V)] / h
Cuando h tienda a cero tendremos la razón de cambio instantáneo. Y cuando h tiende a cero lo que tenemos es al derivada de RT respecto de V
Luego la razón de cambio de RT respecto a V es la derivada de RT respecto a V
$$\begin{align}&RT(V)=\frac{0.05V}{A+xV}\\ &\\ &RT´(V) = \frac{0.05(A+xV)-0.05Vx}{(A+xV)^2}=\\ &\\ &\frac{0.05A+0.05xV-0.05Vx}{(A+xV)^2}=\\ &\\ &\frac{0.05A}{(A+xV)^2}\end{align}$$Y si A es positiva esa expresión es positiva, luego la razón de cambio de RT respecto a V es positiva.
Si la derivada es siempre positiva, significa que la función es siempre creciente, luego cualquier aumento de la variable independiente (V) hace que la función sea mayor. Luego el tiempo de reverberación aumenta si se aumenta un metro cubico el volumen del recinto.
Y eso es todo.
$$$$
Siempre es positivo porque cualquier valor elevado al cuadrado da positivo
Y la parte superior es toda positiva y xV que es negativa es un valor menor a todo lo anterior por lo tanto nunca puede ser el resultado un valor negativo
Entonces siempre que el V sea positivo y en este caso 1 va a ser positivo el RT.
Aplique la derivada de una división, espero lo hayas entendido. Suerte