La pendiente de una recta es -3. Hallar su ecuación si su distancia del origen es 2. Dos soluciones

Si nos dan la pendiente p de una recta, la ecuación es

Y - y1 =p(x-x1) donde (x1, y1) es un punto por donde pasa.

Vamos a poner la ecuación en la forma Ax+By+C=0

y-y1=px-px1

px - y - px1 + y1 = 0

Llamando C = -px1+y1 tenemos

px - y + C = 0

Solo queda sustituir p por la que nos dice el problema

-3x - y + C = 0

La cambiamos de signo, a la C no hace falta, llamamos C a -C y dejamos intacto el signo

3x+y+C = 0

Y calculamos la distancia al origen con la fórmula

d(P,r) = |Ax+By+C|/sqrt(A^2+B^2)

|3·0 + 0 + C| /sqrt(3^2+1^2) = 2

|C|/sqrt(10) =2

|C|=2sqrt(10)

C = 2sqrt(10) ó -2sqrt(10)

Y las dos rectas que son solución son

3x+y+2sqrt(10) = 0

3x+y-2sqrt(10) = 0

Y eso es todo.