Calcular la integral definida

La función |2x-1| es siempre positiva y su valor puede obtenerse o bien de 2x-1 si es positivo para ese valor de x o bien de -2x+1 si es negativo.

Veamos cuando es mayor que quiero

2x-1 >0

2x > 1

x>1/2

Luego la función |2x-1| puede expresarse por trozos de esta forma

f(x) = -2x + 1 si x <= 1/2

= 2x - 1 si x > 1/2

El intervalo de integración que nos da tiene una parte donde la función se define de una forma y otro donde se define de la otra, luego lo dividiremos en dos partes y en cada una pondremos la función correspondiente

$$\begin{align}&\int_0^2 |2x-1|dx=\\ &\\ &\int_0^{\frac 12}(-2x+1)dx+\int_{\frac 12}^2(2x-1)dx=\\ &\\ &\left[-x^2+x  \right]_0^{\frac 12}+ \left[x^2-x  \right]_{\frac 12}^2=\\ &\\ &-\frac 14+\frac 12+0-0\;\;+\;\;4-2-\frac 14+\frac 12=\\ &\\ &-\frac 24+\frac 22+2=-\frac 12+3 = \frac 52\end{align}$$

Y eso es todo.