Sea Xn= sqrt(n^(2)+1) - n Cálculese el lim Xn cuando n tiende a infinito
Ayuda con la sucesión
Sea Xn= sqrt(n^(2)+1) - n Cálculese el lim Xn cuando n tiende a infinito
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Estos límites suelen solucionarse multiplicando y dividiendo por el conjugado
$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)( \sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n}= 0\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
Valeroasm, no entiendo el ultimo paso no se como sqrt(n^(2) + 1) + n es igual a 2n ..
Vamos a hacerlo por el teorema del emparedado.
$$\begin{align}&\text {Usaremos que } \sqrt {n^2+1}>n\\ &\\ &0\lt \sqrt{n^2+1}-n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\lt \frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}\\ &\\ &\\ &0 \lt \sqrt{n^2+1}-n \lt \frac{1}{2n}\\ &\\ &\text{Y tomando límites en los 3 sitios}\\ &\\ &0 \le \lim_{n \to \infty}\sqrt{n^2+1}-n <= 0\\ &\\ &luego \;\lim_{n \to \infty}\sqrt{n^2+1}-n=0\end{align}$$Y eso es todo.
