Problemas de polinomios parte 3

P(x) = (x^2+1)q(x)

P(x)+1 = (x^3+x^2+1)r(x)

(x^2+1)q(x) +1 = (x^3+x^2+1)r(x)

q(x) debe tener un grado más que r(x)

Si grado q(x)=1 el de r=0 y a la izquierda no habrá término en x^2 y a la derecha si

Si grado q(x)=2 grado de r(x)=1 supondremos que los coeficientes de mayor grado serán 1

q(x) = x^2 + ax +b

r(x) = x+c

x^4+ax^3+bx^2+x^2+ax+b+1 = x^4+x^3+x+cx^3+cx^2+c

x^4+ax^3 + (b+1)x^2+ ax + (b+1) = x^4 + (c+1)x^3 + cx^2 + x +c

se deduce estas ecuaciones

a=c+1

b+1=c

a=1

b+1=c esta repetida

luego una vez conocido a vamos a la primera

1 = c+1

c=0

y ahora a la segunda

b+1 = 0

b=-1

Luego las incógnitas son

a=1; b=-1 ; c=0

P(x) = (x^2+1)q(x) =

(x^2+1)(x^2+ax+b) =

(x^2+1)(x^2+x-1) =

x^4+x^3-x^2+x^2+x-1 =

x^4 + x^3 + x -1

Luego la respuesta es

p(x) = x^4 + x^3 + x - 1

Comprobación:

Es múltiplo de (x^2+1) porque lo hemos construido como producto de (x^2+1) por (x^2+x-1)

Y p(x)+1 = x^4+x^3+x = x(x^3+x^2+1) luego es múltiplo de x^3+x^2+1

Y eso es todo.