Por favor ayúdeme con estas integrales, no sé como resolverlas

Me ha engañado el Derive que no sé que cosas hace paso a paso como si estuviera resolviéndolo por partes pero no sé si hace eso y a mi no me sale por partes

Si adecuas la integral multiplicando por cosx y dividiendo por lo mismo y haces el cambio

t=senx

dt = cosx dx

tendrás esta integral binomia

$t^(-5)(1-t^2)^(-1/2) dt

Que es resoluble

Si la adecuación es multiplicar y dividir por senx y haces el cambio

t = cosx

dt = -senx dx

Llegas a esta integral racional

$ -1/(1-t^2)^3 dt = $-1/[(1-t)^3·(1+t)^3] dt = $1/[(t-1)^3·(t+1)^3] dt

Que es racional y resoluble aunque no muy fácil a lo mejor

No sé si con esto te serviría. Ahora tengo que dejarlo porque tengo otras cosas que hacer. Si no te sale me pondré con el problema en unas horas.

Por favor manda la otra integral en una pregunta nueva, son suficientemente complicadas para una sola pregunta.

Primeramente gracias por tomarse el tiempo para prestarme su ayuda, y disculpas por mi falta de intelecto pero aún la integral nueva(usando u= cosx) se me hace dificultosa realizarla con integración por partes, aunque apenas estoy intentando realizarla!!! seguiré intentando pero se me hace difícil, nuevamente gracias y saludos!!!

Es que la integral que queda:

$1/[(t-1)^3·(t+1)^3] dt

Es una integral muy pero que muy laboriosa

Para resolverla habrá que solucionar un sistema de seis ecuaciones.

Consiste en que esa expresión que hay en la integral se puede cambiar por la suma de seis expresiones sencillas directamente integrables, que serán

a/(t-1) + b/(t-1)^2 + c/(t-1)^3 + d/(t+1) + e/(t+1)^2 + f/(t+1)^3

entonces si ponemos denominador común (t+1)^3·(t-1)^3 el numerador queda:

a(t-1)^2(t+1)^3 + b(t-1)(t+1)^3 + c(t+1)^3 + d(t+1)^2(t-1)^3 + e(t+1)(t-1)^3 + f(t-1)^3 = 1

Ahora habría que operar todos esos términos y después sacar t^5, t^4, t^3, t^2, t, 1 como factores comunes. Los coeficientes de cada termino serían combinaciones lineales de a, b, c, d, e, f. Igualando a cero los coeficientes de t^5, t^4, t^3, t^2 y t e igualando a 1 el coeficiente independiente tendremos seis ecuaciones y resolviéndolas podemos calcular a, b, c, d, e, f.

Pero al operar el numerador te salen 48 monomios exactamente, más luego hay que resolver el sistema de 6 ecuaciones. Yo creo que es mucho trabajo, no sé quién te habrá mandado esta integral pero quien sea se ha pasado unos cuantos pueblos con ella.

Gracias a programas informáticos como Máxima a lo mejor conseguimos desarrollar el polinomio:

(d+a)t^5+(e-d+b+a)t^4+(f-2e-2d+c+2b-2a)t^3+(-3f+2d+3c-2a)t^2+
(3f+2e+d+3c-2b+a)t -f-e-d+c-b+a

 1  0 0  1  0  0 | 0
 1  1 0 -1  1  0 | 0
-2  2 1 -2 -2  1 | 0
-2  0 3  2  0 -3 | 0
 1 -2 3  1  2  3 | 0
 1 -1 1 -1 -1 -1 | 1

  Y conseguimos resolver la ecuación

a=3/16

b=-3/16

c=1/8

d= -3/16

e= -3/16

f= -1/8

Las integrales que quedan entonces son estas

(3/16)$dt/(t-1) - (3/16)$dt/(t-1)^2 + (1/8)$dt/(t-1)^3 - (3/16)$dt/(t+1)  - (3/16)$dt/(t+1)^2 - (1/8)$dt/(t+1)^3 =

(3/16)ln(t-1) + 3/[16(t-1)] - 1/[16(t-1)^2] - (3/16)ln(t+1) + 3/[16(t+1)] + 1/[16(t+1)^2] =

No lo escribiré todo, aquí es muy pesado transcribir todo lo que se hace en el papel

(3/16)[ln(t-1)-ln(t+1)] + 3t/[8(t^2-1)] - t/[4(t^2-1)^2] =

(3/16)[ln(t-1)-ln(t+1)] + (3t^3 -5t)/[8(t^2-1)^2]

Y deshacemos el cambio y esta es la respuesta

(3/16)[ln(cosx - 1)-ln(cosx +1)] + (3cos^3x-5cosx)/(8sen^4x)

Bueno, todo esto lo he hecho suponiendo que la integral era la de la cosecante a la quinta, creo que eso decía el problema. Es que si no me muero después de tanto hacer para que no fuera esa la integral pedida.

Y con el mismo Máxima he comprobado que la derivada es csc^5x

Eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido, aunque el problema ya te he duicho que desborda a cualquier persona. NO olvides puntuar.