Estadística distribuciones discretas

a) En todos los problemas que piden esto hay que tipificar la variable aleatoria normal. Tipificarla es transformarla en una variable N(0,1). Con ello podemos calcular la probabilidad en unas tablas o en un programa estadístico. Más recientemente ya no sería necesario hacer esto porque los programas te lo pueden calcular sin necesidad de tipificar. Pero entonces es que ya no tendría sentido plantear estos problemas, asi que vamos a tipificar al menos, lo de usar la tabla no sé si te obligarán a hacerlo.

Tipificar es muy sencillo

Dada la variable aleatoria X se crea la variable Z de la siguiente forma

$$Z =\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Entonces los limites de los valores extremos se modifican mediante esa fórmula y se buscan el la tabla

X=514 ==> Z = (514 -500)/8 = 1.75

P(X > 514) = P (Z > 1.75) = 1 - Tabla (1.75) = 1 - 0.9599 = 0.0401

Con un programa tendrías mas precisión

1 - 0.9599408431 = 0,0400591569

b)

Yo no sé si lo tenéis en el libro o el profe os ha enseñado cuál es la desviación estándar de la suma de dos variables normales.

Aquí lo he encontrado.

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal#Propiedades

Es la propiedad 6. Pero cuidado porque usan una notación liosa, identifican una variable normal con la media y la varianza en lugar de con la media y la desviación.

Más esclarecedor es este otro texto, pero es de un nivel algo alto.

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CG0QFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww.uv.es%2Fceaces%2Fpdf%2Fnormal.pdf&ei=eBLrT-nDJ4i90QXHu5G_BQ&usg=AFQjCNEDkzLWFIU55Eg30z0YN-0Av0Ftvg&sig2=Vx5HgdJ1jf3Ic6rXLBGJ6A

Y dicho con palabras viene a decir que la suma de varias variables aleatorias normales, es otra variable aleatoria normal con media la suma de las medias y varíanza la suma de las varianzas.

O si se prefiere hablar en términos de la desviación, la desviación resultante es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones estándar.

Y dejándonos ya de teoría, la variable aleatoria Y de la suma de los voltajes de dos intentos es una variable aleatoria de media 2·500 = 1000 y de desviación estándar la raíz cuadrada de 8²+8² =

raíz de 128 = 8 raíz de 2

Esto suele escribirse

8·sqrt(2)=11.313708499

Sea Z =(Y-1000)/11.313708499 la variable tipificada Z~ N(0,1)

El valor 1028 de Y va a quedar en

(1028-1000)/11.313708499 = 2.474873734

P(Y > 1028) P(Z>2.474873734) = 1 - Tabla(2.474873734) = 1-0.9933=0.0067

Calculada con el programa antes citado con más precisión es 0,0066641644

c) Cinco instantes y al menos dos menores de 514.

En a) ya calculamos como paso intermedio la probabilidad de que el voltaje fuera inferior a 514, era

P(X<514)=0.9599408431

y la contraria

P(X>514)=0.0400591569

La probabilidad calculada directamente sería la suma de 2 instantes con voltaje inferior a 514, más 3 instantes con voltaje inferior a 514, mas 4 ..., mas 5 ... Es más rapido restar de 1 la probabilidad de solo 1 voltaje inferior a 514 y cero voltajes inferiores a 514

Las combinaciones de voltajes inferiores o superiores para 5 instantes son 25 = 32

La combinación de cuatro superiores y 1 inferior puede hacerse de 5 formas, dependiendo de cual es el instante que sea el voltaje inferior. Luego como primer factor pondremos 5/32 y como segundo la probabilidad de que sucedan cuatro superiores y 1 inferior

P(4 superiores)=(5/32)·(0.0400591569)4·(0.9599408431) =0.000000386

Los 5 superiores solo pueden darse de una forma, luego el factor primero será 1/32

P(5 superiores)=(1/32)·(0.0400591569)5=0.000000003

P(4 o 5 superiores) = 0.000000389

P( 2 o más inferiores) = 1 - 0.000000389 = 0.999999611

Y eso es todo.