Valores del parámetro a que hace que el sistema sea incompatible

Noelia 220!

Es todo un señor sistema.

Cuando el determinante es distinto de cero hay una solución única, el sistema es compatible determinado. Cuando es cero puede ser compatible indeterminado o incompatible.

El determinante no es difícil de calcular. Si a la fila tercera le restamos la segunda, nos queda

a  2  6 | 0
2  a  4 | 2
0 0 2 |a-4

Y el determinante de la matriz de coeficientes se obtiene desarrollando por la última fila y es

2(aa -2·2) = 2(a^2 -4)

Esto será cero cuando

2(a^2-4)= 0

a^2-4 = 0

a = +2 y -2

Examinamos cada caso

a=2

2 2 6 | 0    2 2  6 | 0    2 2  6 | 0    2 2  6 | 0
2 2 4 | 2  ~ 0 0 -2 | 2  ~ 0 0 -2 | 2  ~ 0 0 -2 | 2
0 0 2 |-2 0 0 2 |-2 0 0 -2 | 2 0 0 0 | 0

El rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la extendida también, luego es compatible indeterminado dependiente de un parámetro

a=-2

-2  2 6 | 0   -2 2  6 | 0   -2 2  6 | 0   -2 2 6 | 0
 2 -2 4 | 2  ~ 0 0 10 | 2  ~ 0 0  2 |-6  ~ 0 0 2 |-6
0 0 2 |-6 0 0 2 |-6 0 0 10 | 2 0 0 0 |32

Y aquí el rango de la matriz de coeficientes es 2, mientras que el de la matriz ampliada es 3.

Cuando los rangos son distintos el sistema es incompatible

Luego la solución es esta

Si a = 2 es compatible indeterminado

Si a=-2 es incompatible

Si a es distinto de 2 y -2 es compatible determinado.

Y eso es todo.