Encontrar la ecuación del elipsoide

Si es simétrico respecto de un plano el centro esta en es plano. Y si es simétrico respecto de los tres se deduce que las coordenadas del centro tienen x=0, y=0, z=0, es decir, que el centro es

(0,0,0)

La ecuación canónica de un elipsoide con centro en (0,0,0) es

$$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

Donde las incógnitas que tenemos son las letras a ,b, c.

Para hacerlo mas sencillo llamemos r, s, t a 1/a^2, 1/b^2, 1/c^2, entonces la ecuación es

rx^2 + sy^2 + tz^2 = 1

Pues vamos a obtener tres ecuaciones haciendo que la ecuación se cumpla para los tres puntos.

4r + 4s + 4t = 1

9r + s + 3t = 1

4r +16t = 1

La resolvemos por matrices, antes dividimos por 4 la primera y luego la restamos multiplicada por 9 a la segunda y multiplicada por 4 a la tercera

1   1  1 | 1/4
0  -8 -6 | 1 - 9/4
0  -4 12 | 0
Pasamos la tercera a la segunda y la cambiamos de signo
1  1   1 | 1/4
0  4 -12 |  0
0  0 -30 | -5/4

Luego

t = (5/4)/30 = 5/120 = 1/24

4s -12/24 = 0

4s = 1/2

s=1/8

r + 1/8 + 1/24 = 1

r = 1 - 1/8 - 1/24 = (24-3-1)/24 = 20/24 = 5/6

Luego la ecuación del elipsoide es

(5/6)x^2 + (1/8)y^2 + (1/24)z^2 = 1

Si quieres los valores de a, b y c son sqrt(6/5), sqrt(8) y sqrt(24)

Y eso es todo.