Método de integración por partes:

Antes de nada escribiré la fórmula de la integración por partes, se divide la integral una función u que vamos a derivar y otra dv que tendremos que integrar

$$\Int udv=uv-\int vdu$$

Vemos que el logaritmo no lo sabemos integrar fácilmente, luego lo mejor será ponerlo como la parte u. Ademas luego al derivarlo nos queda 1/x y va a ir to muy bien.

$$\begin{align}&\int x^5lnx\;dx =\\ &\\ &u=lnx \quad du=\frac{dx}{x}\\ &dv=x^5\quad v=\frac{x^6}{6}\\ &\\ &\frac{x^6lnx}{6}-\int \frac{x^6}{6}\frac{dx}{x}=\\ &\\ &\frac{x^6lnx}{6}-\frac 16\int x^5frac{dx}{x}=\\ &\\ &\frac{x^6lnx}{6}-\frac 16 \frac{x^6}{6}=\\ &\\ &\frac{x^6}{6}\left(lnx - \frac 16\right)\\ &\\ &\\ &\text {O si te gusta más a ti o al profe}\\ &\\ &\frac{x^6(6lnx-1)}{36}=\frac{x^6(lnx^6-1)}{36}\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.