Factorizar las siguientes expresiones

Este ya es bien complicado.

X^3+8y^3+3x+6y

Vemos dos elementos al cubo, vamos a ver cuanto valdría el binomio que elevado al cubo nos de esos dos cubos

(x+2y)^3 = x^3 + 6x^2·y + 12xy^2 + 8y^3

Vamos a poner ese binomio pero lo que añadimos lo restaremos

X^3+8y^3+3x+6y = (x+2y)^3 - 6x^2·y - 12x·y^2 + 3x+6y =

Consiste en ver si podemos sacar factor común (x+2y) en los cuatro términos últimos y parece que sí

En los dos últimos está bien claro

3x+6y = 3(x+2y)

Y en los dos primeros también podemos ver que si, basta dividir

6x^2y / x = 6xy

12xy^2 / 2y = 6xy

Que dan el mismo cociente, luego 6xy es factor común, pero lo que interesa es que lo queda tras sacarlo es (x+2y)

Resumiendo que la igualdad última podemos ponerla como:

= (x+2y)^3 + 3(x+2y) - 6xy(x+2y) =

(x+2y) [(x+2y)^2 +3 -6xy]

Podemos dejarlo así u operar el corchete

(x+2y)(x^2 + 4xy + 4y^2 + 3 - 6xy) =

(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 +3)

Este problema es difícil de verdad, supongo que tendrás teoría sobre cómo se hacen estos ejercicios. Sin ella me parece que no voy a poder hacer más. Si llevas algún libro dime cuál es para ver si lo encuentro en internet.

Y eso es todo.