Realiza la siguiente demostración

Sea C una circunferencia en el plano P. Si un radio r toca a la circunferencia en
un punto A de la circunferencia, por este punto pasa una recta tangente.
Probar que la recta tangente es perpendicular al radio r.

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Respuesta
1

Tomemos la circunferencia centrado en el origen y además lo haré para radio = 1. No hay ningún problema en hacerlo para un radio distinto.

La ecuación de la circunferencia será

x^2 + y^2 = 1

y un punto P de la circunferencia será

P=(cost, sent) para t€[0, 2pi)

el vector v de la recta que contiene el radio que va a ese punto es

v=(cost, sent)

Una recta que pase por ese punto P en ecuaciones paramétricas será

x=cost+as

y=sent+bs

y su vector será (a,b)

hHagamos que la intersección recta circunferencia sea solo ese punto de tangencia

(cost+as)^2+(sent+bs)^2=1

cos^2t + a^2s^2 + 2as·cost + sen^2t + b^2s^2+ 2bs·sent =1

Simplificamos el cos^2(t)+sen^2(t)=1

a^2s^2 + 2as·cost + b^2s^2+ 2bs·sent = 0

La respuesta s=0 que nos da el punto de tangencia es una de las soluciones, la otra saldrá de

a^2s +2acost+b^2s+2bsent=0

Y como lo que queremos es que la otra respuesta también sea s=0 para que no haya dos cortes, sustituimos s por 0 y queda

2acost + 2bsent = 0

acost + bsent = 0

La parte izquierda es un producto escalar

(a, b)(cost, sent) = 0

Luego esos dos vectores son perpendiculares y son los de la recta tangente y el radio, lo que nos pedían demostrar.

Y eso es todo.

Muchas gracias, es una labor muy altruista la que esta desempeñando y le deseo el mejor de los éxitos en su vida laboral y familiar...

SALUDOS...

EXCELENTE DIA..

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