Derivadas de funciones complejas

La función f(z) = u(x,y) + i·v(x,y)

Haciendo el cambio

x = r·cos(theta)

y = r·sen(theta)

Tienes la expresión de la página 15 para las derivadas parciales de u y v respecto a r, que no las escribo de momento.

Por otra parte el número

e^(-i·theta0) = cos(-theta0) + i·sen(-theta0) = cos(theta0) - i·sen(theta0)

Vamos a sustituirlo ya todo en la expresión que nos dan

$$\begin{align}&e^{-i\theta_0}\left[\frac{\partial{u}}{\partial{r}}(r_0,\theta_0)+i\frac{\partial{v}}{\partial{r}}(r_0,\theta_0)\right]=\\ &\\ &\\ &(\cos\theta_0-i·sen\theta_0)·\\ &\left[\left(\cos \theta_0 \frac{\partial u}{\partial x} +sen \theta_0 \frac{\partial u}{\partial y}\right)+i\left(\cos \theta_0 \frac{\partial v}{\partial x} +sen \theta_0 \frac{\partial v}{\partial y}  \right)   \right]=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\cos^2\theta \frac{\partial u}{\partial x}+\cos \theta_0 sen \theta_0 \frac{\partial u}{\partial y}+\\ &sen^2\theta \frac{\partial v}{\partial y}+sen \theta_0 \cos \theta_0 \frac{\partial v}{\partial x}+\\ &\\ &i\left(\cos^2\theta \frac{\partial v}{\partial x}+\cos \theta_0 sen \theta_0 \frac{\partial v}{\partial y}+ \right.\\ &\\ &\left(sen \theta_0 \cos \theta_0 \frac{\partial u}{\partial x}+sen^2\theta \frac{\partial u}{\partial y}\right)=\\ &\\ &\text{Como es derivable cumple Cauchy-Riemann}\\ &\text{Y aplicándolas y simplificando  queda}\\ &\\ &=\frac{\partial u}{\partial x}+i·\frac{\partial v}{\partial x}\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es f'(zo), porque aunque no lo pone explícitamente se llega a ello en las páginas 11 y 12 en la demostración de un teorema donde e la demostración de que es derivable lo que hace es calcular la derivada y es esa a la que hemos llegado arriba.

Y eso es todo.